Algebra Lineal (Resumen)

ALGEBRA LINEAL Resumen General

UNIVERSIDAD DEL VALLE DE ATEMAJAC

ALGEBRA LINEAL
RESUMEN DE LA MATERIA

ALUMNO:

JESÚS ALBERTO ESCOBAR GÓMEZ
OCTUBRE DE 2010

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PROGRAMA:

1. Matrices y sistemas lineales  Definición de vector  Operaciones con vectores  Definición de matriz  Operaciones con matrices  Propiedades de matrices  Productoescalar de vectores y matrices  Solución de sistemas lineales  Matrices inversas por definición  Matriz transpuesta  Determinantes  Inversa de una matriz con determinantes  Solución de sistemas lineales por regla de Cramer

2. Vectores en R2 y en R3  Definición de un vector en un plano  Producto escalar o producto punto  Proyecciones en R2  Vectores en R3 (el espacio)  Producto vectorial oproducto cruz  Rectas y planos en R3

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3. Espacios vectoriales  Definición y propiedades  Sub espacios  Combinación lineal y espacios generados  Independencia lineal  Bases, dimensiones y rango  Espacios de producto interno

4. Transformaciones lineales  Definición  Propiedades de las transformaciones  Transformaciones matriciales; a) núcleo,b)imagen  Matriz similar y diagonalización  Matriz simétrica y ortogonal

EVALUACIÓN: Ejercicios en clase……25% Tareas……………………25% Exámenes……………….50% Resumen general……..10%

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INTRODUCCIÓN

FORMA ESCALONADA REDUCIDA:    
Todo renglón que conste únicamente de ceros está en la parte inferior de la matriz. El primer elemento distinto de cero en cada unode los otros renglones es 1. A este elemento se le llama 1 principal. El 1 principal en cada uno de los renglones, después del primer renglón, se encuentra a la derecha de los unos principales de los renglones anteriores. Todos los demás elementos en una columna que contiene un 1 principal, son ceros.

Ejemplos: 1 0 0 1 0 0 8 2 0 1 0 0 1 0 0 0 7 0 3 1 9 1 0 0 4 0 0 1 0 0 0 0 1

1 2 0 0 0 03 0 0 1 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

5 7 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

8 9 5 4

ELIMINACIÓN DE GAUSS - JORDAN:  
Escribir la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales. A partir de la matriz aumentada y usando operaciones elementales en los renglones, obtener la forma escalonada reducida. Esto se lleva a cabo creando, columna por columna, empezando por la primer columna, los unosprincipales y después los ceros sobre y debajo de cada uno principal. Escribir el sistema de ecuaciones correspondiente a la forma escalonada reducida. Este sistema es la solución.



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Ejemplo: ��1 + ��2 + ��3 = 2 2��1 + 3��2 + ��3 = 3 ��1 − ��2 − 2��3 = −6

1 1 1 2 3 1 1 −1 −2 R2  - 2 R1

2 3 −6

2 3 2 3 −2 −2 −2 −4 0 1 −1 −1

1 1 1 0 1 −1 1 −1 −2R3


2 −1 −6

1 −1 −2 −6 −1 −1 −1 −2 0 −2 −3 −8

R3 - R1

1 1 1 0 1 −1 0 −2 −3 R3  R3 + 2R2 1 1 0 1 0 0

2 −1 −8

0 −2 −3 −8 0 2 −2 −2 0 0 −5 −10

1 2 −1 −1 −5 −10

R3  - 1/5 R3

1 1 0 1 0 0

1 2 −1 −1 1 2

0 0 0

1 −1 −1 0 1 2 1 0 1

R2  R2 + R3

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1 0 0

1 1 0

1 0 1

2 1 2

1 1 0 0 1 1

1 2 −1 −2 0 0

R1  R1 -R3

1 0 0 R1

1 1 0


1 0 1

2 1 2

1 1 0 0 −1 0 1 0 0

0 −1 −1

R1 - R2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

−1 1 2

��1 + 0 + 0 = −1 0 + ��2 + 0 = 1 0 − 0 + ��3 = 2

��1 = −1 ��2 = 1 ��3 = 2

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MATRICES Y SISTEMAS LINEALES:
DEFINICIÓN DE VECTOR Definición geométrica: Es el conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos, equivalentes a unsegmento. Definición algebraica: Es un par ordenado de números reales (a, b) en el plano cartesiano. Observaciones:  Comienza en el origen y termina en (a, b)  El vector cero tiene magnitud cero. Magnitud de un vector: |v| = ��2 + �� 2

Dirección de un vector: tan �� ≡
�� ��

tan �� ≡

�� ��

Multiplicación de un vector por un escalar: Se multiplica la longitud del vector por el valor...