Algebra lineal

Examen Unidad I
Suma y Resta de Números Complejos:

Para sumar o restar números complejos se requiere que estén en forma rectangular, se suman y/o restan posición por posición. Ejemplos:

1. Z1= 8+45i ; Z2= 25 – 23i
Así: (Z1 + Z2) = 33 + 22i ; (Z1 – Z2) = -17 + 68i ; (Z2 – Z1)= 17 – 68i

2. Z1 = 14 – 11i ; Z2 = 9 + 3i
Así: (Z1 + Z2)= 23 - 8i ; (Z1 – Z2) = 5 - 14i ; (Z2 – Z1) = -5 + 14i
3. Z1= 99+54i ; Z2= 75 – 39i
Así: (Z1 + Z2) = 174 + 15i ; (Z1 – Z2) = 24 + 93i ; (Z2 – Z1) = -24 - 93i

Multiplicación de Números Complejos

a) Forma Rectangular: Para multiplicar números complejos en forma rectangular se multiplica un binomio por otro. Ejemplos:
1. Z1= 22+15i; Z2= 2 – 9i (i2 = -1)

Z1Z2 = (22 + 15i)(2 – 9i) = 44 – 198i – 30i - 135i2 = 44 – 228i – 135i2 = 44 – 228i – (-1)(135)= 179 – 228i

2. Z1= 9+5i ; Z2= 7 + 5i (i2 = -1)
Z1Z2 = (9 + 5i) (7 + 5i) = 63 + 45i + 35i + 25i2 = 63 + 80i + 25i2 = 63 + 80i + (-1)(25)= 38 + 80i

3. Z1= 15 - 4i; Z2= 8 – 23i (i2 = -1)
Z1Z2 = (15 - 4i) (8 - 23i) = 120 - 345i - 32i + 92i2 = 120 - 377i + 92i2 = 120 - 377i + (-1)(92)= 28 - 377i
b) Forma Rectangular: Para multiplicar dos o más números complejos en forma polar se multiplican las magnitudes y se suman los ángulos (Z1Z2 )= (r1θ1) (r2θ2)= r1r2 (θ1 + θ2) ejemplos:
1. Z1 = ( 2.54 45 ) Z2 = ( 9-56 )
Z1Z2 = ( 2.54 45 ) ( 9 -56 ) = (22.86 -11)

2. Z1 = ( 4.72 20 ) Z2 = ( 12 90 )

Z1Z2 = (4.72 45 ) (12 90 ) = (42.48 135)

3. Z1 = ( 22.5 23 ) Z2 = ( 35 60 )

Z1Z2 = (22.5 23 ) (35 60 ) = (1350 83)

División de Números Complejos
a) Forma Rectangular: Para dividir números complejos en forma rectangular se multiplica y se dividepor el conjugado del denominador y se simplifica (a+bi)(c+di)= a+bi(c-di)c+di(c-di)). Ejemplos:

1. (56+3i)(12+9i)= 56+3i(12-9i)12+9i(12-9i)= (672-504i+36i-27ii)144- (81ii)= 672-468i-27ii144- (81ii)= 699-468i225= 699225-468i225

2. (6+9i)(17+5i)= 6+9i(17-5i)17+5i(17-5i)= (102-30i+153i-45ii)289- (25ii)= 102+123i-45ii289- (25ii)= 147+123i314= 147314-123i314

3. (15+5i)(22+6i)=15+5i(22-6i)22+6i(22-6i)= (330-90i+110i-30ii)484- (36ii)= 330+20i-30ii484- (36ii)= 360+20i520= 360520-20i520

Teorema de Moivre (del moi)

Examen Unidad II y III

Gauss-Jordan

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
2x+3y-z=16
6x-3y+2z=10
-4x-2y+z=-18

1. Primero acomodaremos los coeficientes de las variables de nuestro sistema en una matriz (que en este caso nos quedo de (3 x4))

23-1166-3210-4-21-18
2. Hacer 1 el primer valor de la diagonal principal (que para este ejemplo es el numero 2), esto lo haremos multiplicando el numero por su reciproco

½ 23-1166-3210-4-21-18 132-1286-3210-4-21-18
3. Hacer 0 los números que están por debajo de el numero que acabamos de hacer 1, multiplicando(sin cambiar sus valores) el primer renglón por el mismo número pero con signo contrario de aquel que queremos hacer 0 (para este caso será 6 y -4), después lo sumaremos a sus respectivos renglones para así obtener 0 en la primer columna y cambiar los demás valores del renglón.


(4) (-6) 23-1166-3210-4-21-18 132-1280-125-3804-114

4.Ahora haremos 1 el segundo valor de la diagonal principal (-12) multiplicándolo por su reciproco (como el numero es negativo, también el reciproco será negativo)


-1/12 132-1280-125-3804-114 132-12801-51219604-114

5. Hacer 0 el número que está arriba y el que está abajo del 1 que obtuvimos en el paso anterior, para esto...