Algebra lineal

Linear Algebra Maths 270 c
David A. SANTOS

Community College of Philadelphia: SPRING 2004 March 3, 2004 Revision

Contents

Preface 1 Preliminaries 1.1 Sets and Notation . . . . . . . . . . . . 1.2 Partitions and Equivalence Relations 1.3 Binary Operations . . . . . . . . . . . . 1.4 Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Matrices and Matrix Operations 2.1 The Algebra of Matrices . . 2.2 Matrix Multiplication . . . . 2.3 Trace and Transpose . . . . 2.4 Special Matrices . . . . . . 2.5 Matrix Inversion . . . . . . . 2.6 Block Matrices . . . . . . . . 2.7 Rank of a Matrix . . . . . . . 2.8 Rank and Invertibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

v 1 1 5 9 13 18 20 25 25 29 36 39 47 57 58 69

3 Linear Equations 79 3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2 Existence of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Examples of Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4 R2 , R3 and Rn 4.1 Points and Bi-points in R2 4.2 Vectors in R2. . . . . . . . 4.3 Dot Product in R2 . . . . . 4.4 Lines on the Plane . . . . 4.5 Vectors in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 . 93 . 96 . 105 . 113 . 120

iv

CONTENTS 4.6 Planes and Lines in R3 . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.7 Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5 Vector Spaces 5.1 Vector Spaces . . . . . 5.2 Vector Subspaces . . 5.3 Linear Independence 5.4 Spanning Sets . . . . . 5.5 Bases . . . . . . . . . . 5.6 Coordinates . . . . . .

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137 137 142 145 149 153 159 167 167 170 174 183 183 187 194 205 213 215 215 216 221 227

6 Linear Transformations 6.1 Linear Transformations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Kernel and Image of a Linear Transformation . . . . . . . . . 6.3 Matrix Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Determinants 7.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . 7.2 Cycle Notation . . . . . . . . . . . 7.3 Determinants . . . . . . . . . . . . 7.4 Laplace Expansion . . . . . . . . . 7.5 Determinants and Linear Systems .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Eigenvalues and Eigenvectors 8.1 Similar Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Diagonalisability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . A Some Answers and Hints

Preface

These notes started during the Spring of 2002, when John MAJEWICZ and I each taught a section of Linear Algebra. I would like to thank him for numerous suggestions on the written notes. The students of my class were: Craig BARIBAULT, Chun CAO, Jacky CHAN, Pho DO, Keith HARMON, Nicholas SELVAGGI, Sanda SHWE, and Huong VU. John’s students were...