Algebra lineal

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Segundo Semestre 2008

MAT 1209

´ Algebra Lineal

Una soluci´n de la Interrogaci´n N◦ 1 o o 1 1 0 0 0 0 1 1 ∈ U. 1 0 0 1 2 1 1 2

1. Sea U = Se afirma que:

,

,

,

.

4 −2 −2 2

Decida si esta afirmaci´n es verdadera o falsa, justifique su respuesta. o Soluci´n: o La afirmaci´n es falsa,ya que no existen escalares λi que permitan escribir o 4 −2 −2 2 = λ1 1 1 0 0 + λ2 0 0 1 1 + λ3 1 0 0 1 + λ4 2 1 1 2

Pues el sistema: λ1 + λ3 + 2λ4 = 4 λ1 + λ4 = −2 λ2 + λ4 = −2 λ2 + λ3 + 2λ4 = 2 no tiene soluci´n. o

2. De los conjuntos U , el que no es un subespacio vectorial de R3 ,es: a) U = { (x, y, z) ∈ R3 / y = 0 } b) U = { (x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 + z 2 = 0 } c) U = { (x, y, z) ∈ R3/ x + y + z = 0 } d) U = { (x, y, z) ∈ R3 / x y = 0 } e) U = { (x, y, z) ∈ R3 / 2 x + y + 3z = 0 }

Soluci´n: La alternativa correcta es la letra d) ya que U no es cerrado para la suma o usual de R3 . De hecho si se considera: u1 = (0, 1, 2) y u2 = (1, 0, 2) en U , pero u1 + u2 = (1, 1, 4) no pertenece a U

3. Sea A = (aij ) una matriz de orden 4 definida por:   1 + i3  entonces se afirma:4

si i = j si i = j

aij =

1

I)
i=1

aii = 104

II) A − I4 es invertible. III) A ∼ I4 De las afirmaciones anteriores se cumple: a) S´lo I o b) S´lo II o c) S´lo I y II o d) S´lo II y III o e) I, II y III Soluci´n: o La matriz A es de la forma:

 2 1 A= 1 1

 1 1 1 9 1 1  1 28 1  1 1 65

Luego, las tres afirmaciones son verdaderas. La alternativa correcta es la letra e)4. Se afirma que: Si A ∈ Mn (R), antisim´trica y de orden par, entonces det(A) = 0. e Decida si esta afirmaci´n es verdadera o falsa, justifique su respuesta. o Soluci´n: o Falso, tome por ejemplo la matriz A = y claramente detA = 0.  1 1 −3 5. Si det(A) = 2 y Adj(A) =  1 −1 −1 , entonces −1 −1 1   −1 1 −2 A =  0 −1 −1 −1 0 −1   −1/4 1/4 −1/2 −1/4 −1/4 A= 0 −1/4 0 −1/4   −1/2 1/2 −1−1/2 −1/2 A= 0 −1/2 0 −1/2   1/2 1/2 −3/2 A =  1/2 −1/2 −1/2 −1/2 −1/2 1/2   1 2 −6 A =  2 −2 −2 −2 −2 2  0 2 −2 0 es antisim´trica y de orden par, e

a)

b)

c)

d)

e)

La alternativa correcta es a), pues: A · Adj(A) = |A| · I =⇒ A = |A| · (Adj(A))−1

 1 1 1 b c  , con a, b, c ∈ R. 6. Sea B =  a b+c a+c a+b a) Calcule det(B). b) Usando a) decida si {(1, a, b + c),(1, b, a + c), (1, c, a + b)} es l.i o l.d. Soluci´n: o  1 1 1 a) det(B) = 0 ya que B ∼ C =  0 b − a c − a  y det(B) = det(C). 0 b−a c−a y det(C) = b−a b−a c−a c−a =0 



b) Analizar si {(1, a, b + c), (1, b, a + c), (1, c, a + b)} es l.i o l.d, equivale a analizar las soluciones del sistema homog´neo e  1 1 1 b c  Bx = 0 con B =  a b+c a+c a+b y como det(B) = 0 , entonces el sistemahomog´neo tiene infinitas soluciones, luego e el conjunto dado es l.d. 

7. Sea A ∈ M3×3 (R), se define el conjunto: W = { u ∈ R3 / A u = u} demuestre que W es un subespacio vectorial de R3 . Soluci´n: o i) W = φ, pues 0 = (0, 0, 0) ∈ W , ya que: A 0 = 0 ii) ∀ u , v ∈ W : u ∈ W =⇒ A u = u v ∈ W =⇒ A v = v =⇒ A(u + v) = A u + A v = u + v =⇒ u + v ∈ W

iii) ∀ α ∈ R , ∀u ∈ W : u ∈ W =⇒ A u = uLuego A(α u) = α A u = α u =⇒ α u ∈ W

De i), ii) y iii), W es un subespacio vectorial de R3 .

8. Sea V un espacio vectorial y l = {v1 , v2 , v3 } una base de V . Decida si l1 = {v1 , v1 + v2 , v1 + v2 + v3 } es otra base de V . Justifique su respuesta. Soluci´n: o Si l es una base de V , entonces l es l.i. y genera a V , adem´s dim(V ) = 3. a Primero hay que ver si l1 es l.i., se tiene: α v1 + β(v1 + v2 ) + γ (v1 + v2 + v3 ) = 0V =⇒ (α + β + γ) v1 + (β + γ) v2 + γ v3 = 0V α+β+γ = 0 β + γ = 0 =⇒ α = β = γ = 0 γ = 0

l es l.i =⇒

Por lo tanto l1 es l.i, y como dim(V ) = 3, entonces todo conjunto de 3 elementos l.i. en V es base. Por lo tanto el conjunto l1 es base de V .

9. Determine condiciones para a ∈ R, de modo que el sistema: (a2 + 1) x + −2(a2 + 1) x + 2y + 3z = 0 2y + 3z =...