algebra lineal

MATEMÁTICAS
TEMA 1
Sistemas de Ecuaciones.
Método de Gauss.

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MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO
TEMA 1: Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss

TEMA 1: Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss
ÍNDICE
1. Introducción.
2. Ecuaciones lineales.
3. Sistemas de ecuaciones lineales.
4. Sistemas de ecuaciones escalonado ó en forma triangular.
5. Métodos Algebraicos de resolución de unsistema: sustitución,
método de Gauss,...
6. Sistemas Homogéneos.
7. Problemas.
8. Ejercicios

1. Introducción.
Los sistemas de ecuaciones aparecen de forma natural en nuestra vida. Los métodos de
solución de sistemas de ecuaciones son un recurso muy útil para resolver diversas situaciones
de la vida que pueden ser traducidas a un modelo matemático y así ser solucionadas.

Los métodos queutilizaremos para resolver sistemas de ecuaciones lineales serán sobre todo
el Método de Gauss y el de Sustitución.

La parte final del tema se dedicará a la resolución de problemas de sistemas.

La resolución de sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro se explicará en el
Tema 3 cuando se haya estudiado el concepto de rango de una matriz.

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TEMA 1:Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss

2. Ecuaciones lineales.
Una ecuación lineal con n incógnitas x1 , x2 ,...., xn se expresa de la forma a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b ,
donde a1 , a2 ,...., an , son los coeficientes y números reales, siendo b el término independiente y un
número real. Se resuelven despejando una de las incógnitas.
Ejemplo

a) x + 3 y = 6

1. Encontrar lassoluciones de las siguientes ecuaciones lineales b) 2x − y + 5 z = −4

c) 5x − 2 y + 11z + 5w = 6
Solución

⎧ x = 6 − 3λ
a) x + 3 y = 6 ⇒ x = 6 − 3 y ⇒ ⎨
⎩y = λ

λ ∈R

−4 + λ − 5μ
⎧
⎪x =
2
⎪
−4 + y − 5 z
⇒ ⎨y = λ
b) 2x − y + 5 z = −4 ⇒ 2 x = −4 + y − 5 z ⇒ x =
2
⎪z = μ
⎪
⎩

λ, μ ∈ R

6 + 2λ − 11μ − 5γ
⎧
x=
⎪
5
6 + 2 y − 11z − 5w ⎪ y = λ
⎪
c) 5x − 2 y + 11z + 5w = 6 ⇒ 5 x= 6 + 2 y − 11z − 5w ⇒ x =
⇒⎨
5
⎪z = μ
λ, μ, γ ∈ R
⎪
⎪w = γ
⎩

3. Sistemas de ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones lineales esta compuesto por o más ecuaciones lineales.

⎧3x + 2 y = 3
Ejemplo: ⎨
⎩ x + y = −5

⎧3x + 2 y − z = 3
⎨
⎩ x + y − 2 z = −5

⎧x + 2 y = 7
⎪
⎨ x + y = −5
⎪ x + y = 16
⎩

⎧3x + 2 y + z = 7
⎪
⎨2 x + y − 4 z = −5
⎪−5 x + 2 y = 16
⎩Resolver un sistema de ecuaciones es hallar, si existen, los valores de las incógnitas que
verifiquen simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.

Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales según su solución:

⎧
⎧Determinados (única solución) S.C.D.
⎪ Compatibles (tienen solución) ⎨
Sistemas ⎨
⎩Indeterminados (infinitas soluciones) S.C.I.
⎪ Incompatibles (no tienen solución) S.I.⎩

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TEMA 1: Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss

Sistemas de ecuaciones equivalentes: son aquellos que tienen la misma solución.
Criterios de equivalencia:
• Criterio 1: Si se multiplican o divide los dos miembros de una ecuación de un sistema por
un número real distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado.
• Criterio 2: Si seintercambian entre sí dos ecuaciones resulta un sistema equivalente.
• Criterio 3: Si a una ecuación de un sistema se le suma otra ecuación del mismo sistema,
este resulta equivalente al dado.

4. Sistemas de ecuaciones escalonados ó en forma triangular.
Un sistema es escalonado si en cada ecuación hay una incógnita menos que en la anterior.
Para resolver estos sistemas se despeja una incógnita de laúltima ecuación y se utiliza para
hallar otra incógnita en la penúltima ecuación y así hasta hallar todas las incógnitas.
Ejemplo
1. Resuelve los siguientes sistemas escalonados

⎧ x − 3 y + z = −2
⎪
⎨ 3y + 2 z = 15
⎪
4z = 12
⎩

⎧ x − y + 2 z = −3
⎨
⎩ y + 2 z = −2

⎧x − y + z + w = 1
⎨
⎩ y + 2 z + 3w = −2

Solución
y =3 z = 3
⎧ x − 3 y + z = −2 ⎯⎯⎯⎯ x − 3·3 + 3 = −3 ⇒ x −...