algebra lineal

Ejercicios de Algebra Lineal

Curso 2010/2011

Versión 31-1-2011

Índice general
1. Espacios vectoriales
1.1. Cuestiones test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2
3

2. Matrices y aplicaciones lineales
2.1. Cuestiones test . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
7

3. Traza y determinante
10
3.1. Cuestiones test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 11
4. Sistemas lineales
13
4.1. Cuestiones test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5. Diagonalización. Autovalores y autovectores
16
5.1. Cuestiones test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 16
5.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6. Formas cuadráticas
20
6.1. Cuestiones test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7. Convexidad de conjuntos y funciones22
7.1. Cuestiones test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1

Capítulo 1

Espacios vectoriales
1.1.

Cuestiones test

1. Sean u1 , u2 , u3 y u4 = u1 −3u2 vectores no nulos de R3 y distintos entre sí. Entonces se verifica
que:
a) {u1, u2 , u3 , u4 } son linealmente dependientes.

b) {u1 , u2 , u3 , u4 } son linealmente independientes.
c) {u1 , u2 , u4 } son linealmente dependientes.

d) {u1 , u2 , u3 } son linealmente independientes.
2. El conjunto W = {(x, y, z) ∈ R3 / x + y + z = 0, 2x − y = a} verifica que:
a) para todo a ∈ R es un subespacio vectorial de R3 de dimensión 1.
b) para a = 0 es un subespacio vectorialde R3 de dimensión 1.
c) para a = 3, no es un subespacio vectorial R3 .
3. Sean W1 y W2 subconjuntos de R3 definidos por:
W1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 0} ; W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}
Entonces se verifica: que W1 , W2 y W1 ∩ W2 son subespacios de R3
a) W1 ∩ W2 no es subespacio vectorial.
b) W1 ∩ W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0}.

c) W1 ∩ W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 0, z = 0}.
4.El conjunto de vectores M = {u1 = (1, 1, 2, 1), u2 = (0, 2, 3, 1), u3 = (2, 0, a, 1)} verifica que:
a) M es un conjunto de vectores linealmente independiente para cualquier valor de a.


1 0 2
 1 2 0 

b) para todo a ∈ R el rango de la matriz 
 2 3 a  es igual a 3.
1 1 1

c) para a = 1, L (M) = {(x, y, z, t) ∈ R4 / y + t = z, x + y = 2t}, que tiene dimensión 2.

d) M es unconjunto de vectores linealmente dependiente para cualquier valor de a.
5. Estudiar, razonando las respuestas, si las siguientes afirmaciones son verdaderas.
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a) Sea W el subespacio vectorial de R3 generado por el siguiente conjunto de vectores:
G = {(1, 2, 1), (0, 1, 0), (1, 0, −1), (1, 1, −1)}.
Entonces W = R3 .
b) El conjunto W = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x + y + z = 0, x − y + z = 0, x − z =0} es un
subespacio vectorial de R4 de dimensión 1.
c) Sean u1 , u2 , u3 , u4 ∈ R3 cuatro vectores no nulos y distintos entre sí. Sea W el subespacio
generado por esos cuatro vectores. Entonces se verifica que W = R3 .
d) Sea W el subespacio vectorial generado por tres vectores u1 , u2 , u3 ∈ R4 y sea v ∈ R4 tal
que v = u1 + u2 + u3 y v = 2u1 − u3 . Entonces se verifica que dim W ≤ 2.
6. Sea...