algebra lineal


| vectores



indice
5.1 introuccion alas tranformaciones lineales
5.2 nucleo e imagen de un transformacion lineal
5.3 la matriz de una tranformacion lineal
5.4 aplicación e las tranformaciones lineales (reflexion, dILATACION, CONSTRUCION y rotacion)

Introducción


Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar entérminos de matrices, y viceversa.


Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación enla física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

5:1 Introducción a las transformaciones lineales
El presente capitulo aborda una clase especial de funciones denominadas transformaciones lineales que ocurren conmucha frecuencia en el algebra lineal y otras ramas de las matematicas. Estas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Antes de definirlas, se estudiaran dos ejemplos sencillos para ver lo que es posible realizar.
Ejemplo 1: reflexión respecto al eje x
En R2 se define una función T mediante la formula T(x;y)=(x;-y). Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto aleje x. esto se ilustra en la figura. Una vez que se ha dado la definición básica, se vera que T es una transformación lineal de R2 en R2.
Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.
Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere  tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3, y P4 y alos materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el numero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.
Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.
Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere  tres tipos de materiales. Se identifican los cuatroproductos como P1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el numero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.


Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Seanp1, p2, p3 y p4 el número de artículos fabricados en los cuatroproductos y sean r1, r2, y r3 el número de unidades necesarios de los tres materiales. Entonces se define

Por ejemplo, suponga que P=(10,30,20,50). ¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene que
r=p1*2+p2*1+p3*3+p4*4=10*2+30*1+20*3+50*4=310 unidades
de manera similar  r2=10*4+30*2+20*2+50*1=190 unidades
yr3=10*3+30*3+20*1+50*2=240 unidades
en general se ve que 

o Ap= r.
Esto se puede ver de otra manera. Si a p se le conoce como le vector de producción y a r como el vector de materia prima, se define la función T por = T(p) = Ap. Esto es, T es la función que “transforma” el vector de producción en el vector de materia prima y se hace mediante la multiplicación  de matrices ordinaria. Como se verá , esta...