Algebra Lineal

Problemas de espacios vectoriales.
Algunos de los problemas aquí planteados aparecen en el primer capítulo del libro: Problemas de Álgebra, Editorial Clagsa. El citado libro pertenece a la bibliografía recomendada para la asignatura de “Álgebra”. Dichos problemas están convenientemente señalados. 1. Demostrar que el conjunto C de los números complejos, con las operaciones de suma y productousuales tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales R. (Problema resuelto nº 1, pág. 7) 2. Probar que el conjunto P2[x] formado por los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales es un espacio vectorial. 3. Sea M={(x,y,z) / x+y+z=0} ⊂ R3. Demostrar que es un espacio vectorial. ¿ Pertenecen los vectores (1,0,2), (1,1,-2) y (1,1,1) al espaciovectorial M ? ¿ Es M'={(x,y,z) / x+y+z=1} un subespacio vectorial de R3 ? 4. a) ¿ Son los vectores (1,2,3) y (1,1,1) combinación lineal de la familia de vectores S={(1,0,1),(0,2,2)} ? b) Calcular x e y, si es posible, para que el vector (1,2,x,y) sea combinación lineal de los vectores (1,1,0,2) y (1,1,2,3) ? (Problema propuesto nº 3, pág. 22) 5. Si e1, e2 y e3 son vectores linealmente dependientes de V.a) ¿ Se puede asegurar que e1 depende linealmente de los otros dos ? b) ¿Se puede asegurar que uno de los tres vectores es combinación lineal de los otros dos? (Problema resuelto nº 3, pág. 9) 6. Probar que si {e1, e2, e3} son linealmente independientes, entonces {e1+ e2, e2+ e3, e1+e3} son linealmente independientes. (Problema resuelto nº 4, pág. 10) 7. Probar que los vectoresB={{2,1,1),{1,3,1),(-2,1,3)} forman una base de R3. Hallar las coordenadas del vector (1,1,2) en dicha base. (Problema propuesto nº 12, pág. 23) 8. Probar que los polinomios B={p1(x)=1, p2(x)=(x+1)2, p3(x)=x} forman una base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, P2[x]. Hallar las coordenadas del polinomio q(x)=2x2+7x+3 en dicha base. 1

9. Se consideran los siguientes subespaciosde R4: V1={(x,y,z,t) ∈ R4 / x+y+z=0} V2= V3={(x,y,z,t) ∈ R4 / x = α + β , y = α + γ , z = γ + δ , t = α + δ }
¿ Pertenece el vector (1,0,-1,-2) a dichos subespacios ? En caso afirmativo calcular las coordenadas de dicho vector con respecto a alguna base de dichos subespacios. (Problema propuesto nº 14, pág. 24) 10. Extender el conjunto: S={(1,1,-1,1),(1,1,0,1),(1,2,1,1)} para formar una base deR4. (Problema propuesto nº 13, pág. 23) 11. Sean B={v1, v2, v3} y B’={u1, u2, u3} dos bases de R3 tales que: u1= v1-v3 u2= v2+v3 u3= v1-v2 a) Sea e ∈ R 3 el vector que en la base B’ tiene coordenadas (1,2,3). Calcular sus coordenadas en la base B. b) Sea e'∈ R 3 el vector que en la base B tiene coordenadas (1,2,3). Calcular sus coordenadas en la base B’. 12. Hallar la intersección y la suma de lossubespacios V1= V2= (Problema propuesto nº 18, pág. 24) 13. Sean E1, E2 y E3 tres subespacios de R3 definidos por: E1={(a,b,c) ∈R3 / a+b+c=0}, E2={(a,b,c) ∈R3 / a=c}, E3={(0,0,c) ∈R3} a) Demostrar que R3= E1+E2 ¿ Están en suma directa ? b) Demostrar que R3= E1+E3 ¿ Están en suma directa ?

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14. Consideremos los subespacios V y W contenidos en R3definidos como sigue: V={(x,y,z) ∈R3 / x=a+c,y=b+c, z=a+b+2c }, W={(x,y,z) ∈R3 / x-y+2z=0}, Calcular bases, dimensiones y ecuaciones de los subespacios V, W, V+W y V ∩ W. ¿ Están en suma directa V y W ? ¿ Qué espacio es un suplementario de V ? ¿ Y un suplementario de V∩ W ? (Problema propuesto nº 24, pág. 23) 15. Sean B={e1, e2, e3, e4} y B’={u1, u2, u3, u4} dos bases de R4, donde: u1=e1+e2 u2=e1 u3=e2-e3 u4=e1+e4 Hallar respecto a B’ lasecuaciones de un subespacio que respecto a B viene dado por x-t=y+z=0

Problemas propuestos.
1. Demostrar que el conjunto de matrices 2x2 con coeficientes reales, M2(R), es un espacio vectorial. 2. Dadas las matrices

B=

1 0 1 1 1 1 0 0 , , , 0 0 0 0 1 0 0 1

a) Probar que forman una base del espacio vectorial M2(R). 5 3 b) Hallar las coordenadas de la matriz en dicha base. 1 1 (Problema...