algebra lineal

1.1 Definición y origen de los números complejos.
Historia de los números complejos
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda defórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.
Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está endesuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.
Definición de número complejo
Los números complejos z se pueden definir como pares ordenadosz = (x, y)        de números reales x e y, con las operaciones de suma y producto que especificaremos más adelante. Se suelen identificar los pares (x, 0) con los números reales x.
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1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
=Adicción =
Dados los complejos Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se defineZ1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)
=Sustracción=
Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo : Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)
=Multiplicación=
Dados los complejos Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)
=Potenciación=
La potenciacion de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicacion reiterada:  Zn= (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2……(a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados.
=Forma Binomica=
La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + bi
Operaciones de números complejos en su forma Binomica: La suma y diferencia de numeros complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y partes imaginarias entre si. 
+(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i
-(a +bi) - (c +di) = (a-c) + (b-d) i 
=Multiplicación con números complejos=
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) – (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i
=División con números complejos=
El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador ydenominador por el conjugado de este. 

=Ejemplo=
(3 + 2i) + 8-7-i) = (3-7) + (2i – i) = -4 + i 
= (5 + 3i) + {(-1 + 2i) + (7-5i)}
=(5 + 3i) + {(-1 + 7) + (2i – 5i)} 
= (5 + 3i) + (6 – 3i) 
= (5 + 6) + (3i – 3i) 
= 11




















1.3 Potencias de "i", modulo o valor absoluto.
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por lasiguiente expresión:

Si pensamos en z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.
Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma polar como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocida fórmulade Euler.
Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto




para cualquier complejo z y w.
Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son...