algebra lineal

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
Instituto de Ciencias Básicas

Álgebra Lineal
Isabel Arratia Zárate

Matrices y Sistemas de
ecuaciones lineales

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Algebra Lineal - I. Arratia Z.

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Matrices: definiciones y notaciones básicas
Una matriz A con componentes en un cuerpo κ es un
arreglo en filas y columnas de elementos deκ. Por ejemplo,
 4 23 


 3 0 − 5

A=
 2 −1 1  y B =  15 − 3
 − 7 9
3




son matrices con componentes en ℜ , el cuerpo de los
números reales. La matriz A tiene dos filas y tres columnas
mientras que la matriz B tiene tres filas y dos columnas.
Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice que ella
es de orden m x n (se lee m por n).__________________________________________________________________
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¿Cómo denotar una
matriz de orden m x n?

Se usan dos índices:

 a 11

a
A =  21
...

a
 m1

a 12
a 22
...
a m2

a 1n 

a 2n 
...
... 

. . . . . a mn 

.....
.....

lo que abreviadamente se expresa,

A = (a i j ), i = 1, 2, . . . . , m ; j = 1, 2, . . . . , nEjercicio: Determine por extensión la matriz A, de orden
2x3 definida así, a i j = | 2i – j |.
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El elemento a i j, es el que se ubica en la i-ésima fila j-ésima
columna de la matriz A; se llama componente i j de la matriz A.
Si la matriz A tiene el mismo número n de filas que de
columnas, sedice que ella es una matriz cuadrada de orden n.
Si A es una matriz de orden n, las componentes
a i i constituyen la diagonal de A; se anota:

diag(A) = (a11, a 22 , . . . . . . . , a nn )
La suma de los elementos de la diagonal de una matriz
cuadrada de orden n se llama traza de A, es decir,

tr ( A ) =

n

∑ aii
i =1__________________________________________________________________
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Una matriz cuadrada
si

A = (a i j ) se dice matriz diagonal

a i j = 0 cuando i ≠ j. Por ejemplo,
2

A = 0
0


0
−5
0

0

0
1


y

 -1
B=
0


0

0


son matrices diagonales.

Una matriz cuadrada A = (a i j ) se
llama
triangular
superior si a i j = 0 para i > j, y se llama triangular inferior
sia i j = 0 para i < j. Por ejemplo,
4

C = 0
0


−1
−6
0

5

0
8


y

-3
B=
 2


0

7


son matrices triangulares.

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Ejemplo: Determine por extensión la matriz A = (a i j ), de orden
3 dada por

si i = j
 i

A =  2i − j si i < j
| i −3 j | si i > j


¿Cuál es la diagonal y la traza de A ¿Cuál es el valor de la traza
de A si la matriz A fuese de orden 20? ¿y si fuese de orden n?
Solución: La matriz A es

1

A = 1
0


0
2
3

− 1

1 
3 


Su diagonal es diag(A) = (1, 2, 3) y tr(A) = 6. Si A es de
orden 20, tr(A) =

20

∑
i=1

ai i = 210 y si es de orden n, tr(A) =

n(n +1)
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Resulta fácil comprender la utilidad que
prestan las matrices para ordenar datos.
La producción semanal, en cientos, de los artículos p1, p2, ….p60
que se fabrican en una industria se pueden expresar mediante
una matriz P de 60 filas - donde se escribirán los productos
elaborados - y 5columnas que indicarán los días de la semana
de lunes a viernes:
Lu Ma Mi Ju Vi
 2 3,5 3 3, 2 3  p1


6 6 ,5 6 ,3 6 , 2 6  p 2

P =  .. ..
..
..
..  ..


..
..
..  ..
 .. ..
 4 3,8 3,5 4 3, 2  p

 60
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El conjunto de todas las matrices de

m filas y n...