Algebra Lineal

Álgebra Lineal I. Tarea 2.
Profesor: Jaime Castro
1. Sean W1 = [{(1, 0, 2), (1, 2, 2)}] y W2 = [{(1, 1, 0), (0, 1, 1)}] subespacios de R3 . Calcule dimW1 ,
dimW2 , dimW1 ∩ W2 y dim(W1 + W2 ).
2.Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión nita.Demuestre que si U, W son subespacios
de V y β y γ bases de U y W respectivamente, entonces U + W = [U ∪ W ] = [β ∪ γ ].
3. Sea W = [{(1, 2, 1,0), (−1, 1, 1, 1)}] ⊆ R4 y sea V = [{(2, −1, 0, 1), (−5, 6, 3, 0)}]. Diga cuál es la
dim(W + V ) y dim (W V ).
4. Encuentre a ∈ R tal que:
dim([{(−9, a, −1, −5, −14), (2, −5, 3, 0, 2), (1, 4, −1,1, 2), (3, −1, 2, 1, 4), (−1, 9, −4, 1, 0)}]) = 2.
5. Sea V un K -espacio de dimK (V ) = n y sean W, U subespacios distintos de V , ambos de dimensión
n − 1. Calcule dimW ∩ U .
6. Sea V un K-espacio y U, W, X subespacios de V tales que U ⊆ W . Demuestre que W ∩ (U + X ) =
U + ( W ∩ X ).
7. Demuestre que la intersección de dos planos en R3 que pasan por el origen no puede ser una
recta.
8.Sean V un K -espacio y W1 , ..., Wn subespacios de V con Wi ∩ Wj = {0v } con i = j además, sea
n
n
βi base de Wi para cada i = [1, n]. Demuestre que V = i=1 Wi ⇔ β = i=1 βi es base de V .
9. Sea U= [{(1, 0, 1)}]. Encuentre W subespacio de R3 tal que R3 = U ⊕ W .
10. Sean T = {A ∈ Mnxn (R) : tr(A) = 0} y F = [{1nxn }]. Demuestre que Mnxn (R) = T ⊕ F .
11. Si Snxn = {A ∈ Mnxn (R) : A = At } yAnxn = {A ∈ Mnxn (R) : A = −At }, demuestre que
Mnxn (R) = Snxn ⊕ Anxn .
12. Demuestre o dé un contraejemplo. Si V es un K -espacio vectorial y H, H , H ≤ V son tales que
V = H ⊕ H y V = H ⊕ Hentonces H = H .
13. Sea D = {A ∈ Mnxn (R) : Aij = 0∀i = j }. Encuentre H, T ≤ Mnxn (R) tales que Mnxn (R) =
D ⊕ H ⊕ T.
14. Demuestre si T es, o no es una transformación lineal.
a ) T : R3 → R2denida como T (a, b, c) = (a − b, 2c)
b ) T : P2 (R) → P3 (R) dada por T (p(x)) = xp(x) + p(x)
c ) T : R2 → R2 denida como T (a, b) = (a + 1, b)
d ) T : Mnxn (R) → R dada por T (A) = tr(A).
e ) T :...