Algebra lineal

Notas de álgebra lineal
Alfredo Gómez Rodríguez Instituto de Física y Facultad de Ingeniería, U.N.A.M. Mayo de 2009

ii

Índice general

iii

iv

ÍNDICE GENERAL

Prefacio
Estas son las notas para un curso de álgebra lineal. Estas notas están en un proceso de continua revisión, para versiones más recientes puede Usted consultar http://www.…sica.unam.mx/departamentos/matcond/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=50

v

vi

PREFACE

Introducción
El plan 2006 para la asignatura “álgebra lineal” impartida en la División de Ciencias Básicas de la Facultad de Ingeniería de la UNAM nos ha obligado a revisar nuestras notas de clase. El resultado de dicha revisión es el presente juego de notas, que no pretenden ser sino eso, notas. El lector indudablementenotará algunos de los inumerables errores en este texto, y los errores no son nada más de ortografía o redacción. Sin embargo, esta obra es, como toda obra humana, perfectible y jamás perfecta. Agradeceré si me informan de los errores bajo el principio de “error detectado, error eliminado.” La revisión 2008 del plan de estudios coloca los temas “matrices y determinantes”y “estructuras”algebraicasde nuevo en el curso de álgebra. Sin embargo, al menos de momento, hemos decidido dejar dichos temas en el presente juego de notas. Esta revisión indica agregar el tema “operadores lineales en espacios con producto interno” que es tratado brevemente en el presente texto. Otro tema nuevo en la revisión es el de introducción al álgebra lineal; este tema comprende los subtemas “historia del álgebralineal” y “aplicaciones del álgebra lineal a la ingeniería” que también se tratan aquí de manera breve. Uno de los tópicos más polémicos para el profesor de álgebra lineal es el de las “aplicaciones” Frecuentemente por aplicaciones se entienden aplicaciones a . las matemáticas y esto deja frustrados a nuestros estudiantes que quieren ver las aplicaciones a la ingeniería. Y al hablar de aplicacionesa la ingeniería se mencionan algunos ejemplos “tribilines", es decir, triviales. Llamar aplicaciones a cualquier ejemplito en el que aparezcan sistemas de ecuaciones, determinantes o matrices es como llamar humorista a alguien que cuenta un chiste cada veinte años. Reto a mis colegas profesores de álgebra lineal a que muestren ejemplos no triviales de aplicaciones a la ingeniería. El presenteautor, siendo físico, conoce dos aplicaciones monumentales del álgebra lineal a la física: la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad. ¿existe algo comparable entre las aplicaciones a la ingeniería?¿no será (como más de un autor ha sugerido), más conveniente dar un curso orientado a las matrices y olvidarnos de espacios vectoriales, productos interiores, adjuntos, operadores Hermitianos y unlargo etc.? Hemos incluido algunas aplicaciones, entre ellas algunas aplicaciónes simples a la mecánica cuántica y a la relatividad; pero hemos tratado de no incluir aquellas aplicaciones que el lector encontrará en muchos de los textos de álgebra lineal disponibles, sobre todo las tribilines. Hace ya algunos años los físicos prometieron darnos “computadoras cuánvii

viii

INTRODUCCIÓNticas” Al momento de escribir estas notas aun no cumplen su promesa y, por . desgracia, en otras ocasiones (los cuasicristales, los superconductores) no las han cumplido. Sin embargo de lograrse la computación cuántica nuestro modesto curso se convertiría en uno de los más importantes; sugiero al lector que le eche un ojo a un texto de computación cuántica, verá en él álgebra lineal y más álgebralineal.

Parte I

Introducción al álgebra lineal

1

3 En esta parte del curso damos un breve paseo por la historia del álgebra lineal y señalamos algunas de sus aplicaciones a la ingeniería.

4

Capítulo 1

Breve historia del álgebra lineal
Esta reseña será, por necesidad, muy breve y nos contentasremos con mostrar únicamente los sucesos más relevantes. El tratamiento está...