Algebra linral

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.
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Definición
Sea un conjunto devectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números, no todos iguales a cero, tal que:

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo . El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.
Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemosredefinir la independencia lineal así:
Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es linealmente independiente si
Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:
1. Un conjunto devectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.
Si unconjunto de vectores es linealmente dependiente también lo es todo conjunto que lo contenga. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande sigue siendo linealmentedependiente.
Sistema generador
En álgebra lineal, dado un espacio vectorial V, se llama sistema de generador s al conjunto de vectores, pertenecientes a V, a partir del cual se puede generar el espacio vectorial V completo.
No confundir este concepto con el de base, ya que si bien toda base es un sistema generador, la implicación inversa no es cierta. Mientras que una base ha de serobligatoriamente un sistema libre, es decir, todos sus elementos han de ser linealmente independientes, un sistema generador puede ser ligado, es decir, linealmente dependiente.
Cabe concluir pues, que para cualquier sistema generador V formado por n elementos, siempre podremos hallar una base B comprendida en V con un número de elementos estrictamente menor que n (de ser igual obtendríamos la base en sí yno hablaríamos de sistema generador).
Generalmente se emplea la siguiente notación:

Donde V es el espacio vectorial generado por el sistema S, el cual está compuesto por n vectores, siendo n mayor o igual a la dimensión del espacio V.

Ortogonalidad (matemáticas)
En matemáticas, el término ortogonalidad (del griego orthos —recto— y gonía —ángulo—) es una generalización de la nocióngeométrica de perpendicularidad. En el espacio euclídeo convencional el término ortogonal y el término perpendicular son sinónimos. Sin embargo, en espacios de dimensión finita y en geometrías no euclídeas el concepto de ortogonalidad generaliza al de perpendicularidad.
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Ortogonalidad en espacios vectoriales
Definición
Formalmente, en un espacio vectorial con producto interior V, dos vectores eson ortogonales si el producto escalar de es cero. Esta situación se denota. Además, un conjunto A se dice que es ortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de los vectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores del conjunto B.
Ortogonalidad y perpendicularidad
En geometría euclídea, dos vectores X e Y ortogonales forman un ángulo recto, los vectores v1 = (3,4) y v2 = (4, − 3) lo son...