Algebra

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Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales

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Tema 0: Operaciones algebraicas básicas

Generalidades: propiedades conmutativa, asociativa y distributiva
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2a
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Para simplificar la expresión anterior deben tenerse en cuenta varias reglas. Regla 1.- Los paréntesis marcan la máxima prioridad en las operaciones algebraicas. Por tanto, si es posible, debe tratar de simplificarsepreviamente el contenido de cada paréntesis. En este problema sólo cabe simplificar el primero, 5a 7 a ; los demás no pueden simplificarse porque no cabe hacer dentro de ellos ninguna operación, como veremos más abajo. Simplifiquemos, pues, 5a 7 a . Esta expresión es un trinomio (polinomio de tres miembros). Los signos y - separan un polinomio en monomios. El orden en que estén escritos los monomiosde un polinomio es irrelevante (propiedad conmutativa de la suma (y la resta), Regla 2). Por ejemplo, el trinomio anterior también podía haberse escrito: 7 5a a o a 7 5a o 7 a 5a, etc. _____________ [Esta propiedad es muy útil para evitar errores al hacer sumas de números con distinto signo. Por ejemplo, si piden hacer la siguiente operación: 3 5 , podemos ”darle la vuelta” escribiendo: 5 o, loque es lo mismo, 5 3 (pues un signo al principio puede suprimirse). Evidentemente, 5 3 es mucho más fácil de interpretar que 3 5 .]
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[También pueden introducirse paréntesis arbitrariamente en el trinomio considerado para asociar monomios, escribiendo, por ejemplo: 5a 7 a o 5a 7 a (propiedad asociativa de la suma (y la resta), Regla3). Es decir, si hay que efectuar una suma con tres sumandos (como es el caso), pueden sumarse primero dos cualesquiera y el resultado sumarlo al tercer sumando.] [Nota: al emplear la palabra suma nos referimos indistintamente a suma o resta; téngase en cuenta que ”restar” 6 2 es lo mismo que sumar los números 6 y 2 .] _____________ Un monomio pueden constar de letras, números o números y letras.Sólo se pueden sumar (o restar) aquellos monomios en los que todas las letras sean iguales y estén elevadas a iguales potencias (Regla 4). Por ejemplo, se pueden sumar entre sí los monomios 5a y a, pero no 5a y 7.
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De la misma manera, se pueden hacer las siguientes sumas: 5ab ab ( 4ab); ab 2 2ab 2 a a a 2 ( 3ab ); 3 c 3 ( 2 c 3 ); 3 a 2 a ( 5 a) pero no cabría sumar 5ab b ni ab c3 2 a ni3 a3 ni 3 a 2 3 a . c3 c De todo lo dicho debe quedar claro que 5a a 4a 7 a 5 4 3a 7 2 3 5a
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Dentro de los demás paréntesis no se puede efectuar operación alguna. La única manera de seguir simplificando es quitar los paréntesis. Para ello hay que seguir ciertas reglas. Un paréntesis con un signo delante puede quitarse directamente.(Regla 5). Es el caso delsegundo paréntesis. Un signo – delante de un paréntesis permite quitar el paréntesis pero cambiando el signo de los monomios que hay dentro (Regla 6). Es el caso del segundo paréntesis. Un número o letra delante de un paréntesis multiplica (sin olvidar su signo) a todos los monomios que hay dentro del paréntesis (propiedad distributiva, Regla 7). Es el caso de los paréntesis tercero, cuarto yquinto.
¢

Con lo dicho, la expresión queda:
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3a
¦

a

4a

7

a

5

12a

28

6

10a

5a

5

¥

£

£

3a
¦

¢

7 a 4a 5a 1
¦ ¤ £

7. , con lo que la expresión inicial queda:

2a

31

¢

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¢1.- Simplificar: 3a 31)

a

5a

7

a

a

5

4 3a

7

2 3

5a

5a

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1

(Sol.:

3,

2ab 2

12

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donde se han tenido en cuenta las reglas de la multiplicación (y división) de signos:
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Operaciones...
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