Algebra

GUIA No. 9: RADICALES Y EXPONENTES RACIONALES MATEMÁTICAS BÁSICAS

COMPETENCIA: Utilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos.

RADICALES PROPIEDADES DE LOS RADICALES

1.-

n

x  x

n


1 n

1 n

x x
1 n 1 n

n n

3.-

n

x  x  x    y  y  y

n
1 n

nx y
1 n n

2.4.-

n

xy   xy



1 n

x y 

x

n

y

kn

x

km

 x

km


2

1 kn

x

km kn

x

m n

n x m

Apliquemos estas propiedades. Todas las variables representan números reales positivos. Propiedad 1: Propiedad 2: Propiedad 3:
3

5

 3x y 

5

 3 x 2y

10 5  50  25  2  25  2  5 2
3 13 x x 3 x x 3  o bien: 327 3 x

Propiedad 4:

6

x 4  23 x 22  3 x 2

Las leyes de los radicales nos brindan los elementos para cambiar las expresiones algebraicas con radicales por una variedad de formas equivalentes. Una forma muy útil es la forma radical más simple. Se dice que una expresión algebraica con radicales está en la forma radical más simple, cuando satisface las cuatro condiciones siguientes:OPERACIONES CON LOS RADICALES Suma y resta
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

a n k  b n k c n k  a  b  c  n k

E je mp lo s: 1) 2

2  4 2  2   2  4 1  2   2

2) 3 4 5  2 4 5  4 5   3  2 1   0 3) 4)
4

12  3 3  2 75  2 2  3  3 3  2 5 2  3 2 3  3 3 10 3  9 3 4  6 8  12 64 
4

2 2  6 2 3  12 2 6 

2 2 2 2

Multiplicación de radicales
De Wikipedia

Multiplicación de radicales con el mismo índice
Se multiplica los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, dando este último producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado. Ejemplo:


2 3 6

Otro ejemplo:

3

x 3 y5 3 x 2 y4 3 x 5 y 9

Multiplicación de radicales con diferente índice
Ejemplo:



4

x 2y

2

5 x 3 y

Primero, se determina el mínimo común múltiplo de los índices. Este será el índice de todos los radicales en la operación. En este caso el mínimo común múltiplo sería 20 ya que 4 · 5 = 20.

Después se divide el mínimo común múltiplo entre el índice de cada radical.

4x 2 y 2  5 x 3 y  20

x

2

y2



5

 20

x y
3

4

El resultado del mínimo común múltiplo entre cada índice del radical, será la cantidad que eleve a las cantidades subradicales de esa raíz.



20

x

2

y2



5

 20

x

3

y



4

 20 x 10 y 10  20 x 12 y 4

Ahora, se hace una multiplicación de radicales de las de igual índice yaque ambas raíces poseen índice 20:
20

x 10 y 10 

20

x 12 y

4

 20 x 22 y 14

Si es posible, se realiza una extracción de factores, como en este caso:
20

x 22 y 14  x 20 x 2 y 14

División de radicales
De Wikipedia

División de radicales de igual índice Esta operación es conocida también como cociente de radicales. Para dividir los radicales de igual índice, se dividenlas cantidades subradicales y se coloca el mismo índice en el radical. Ejemplo:
5



x 12 y

4

5

x 9y 2



5

x 12 y 4 5 3 2  x y x 9y 2

5



212  5 3 215  5 4

5



5

212  5 3 5  2  35  1  215  5 4

1
5

23 5

División de radicales de diferente índice Es también conocida como cociente de radicales. El proceso es bastante similar al de lamultiplicación de radicales Ejemplo:
5

m 20 n 28 m 15 n 8



5

Hay que determinar el mínimo común múltiplo de los índices. Éste será el índice de todos los radicales del cociente o fracción. En este caso el mínimo común múltiplo es 5.7 = 35. El resultado del mínimo común múltiplo entre cada índice del radical, esa será la cantidad que eleve a las cantidades subradicales de esa raíz....