Algebra

Escuela de Talentos IEPV. 5143 Perú

“Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento de Nuestra Diversidad”

FACTORIZACIÓN I
Factorizar una expresión algebraica racional de coeficientes enteros consiste en expresarla como el producto de sus factores primos, los cuales tendrán que ser de la misma naturaleza, esto es, racionales de coeficientes enteros. Podemos entender la factorizacióncomo un proceso inverso a la multiplicación, pues consiste en descomponer un producto en sus factores, por ello varios de los métodos de factorización prácticamente son la inversa de los productos notables. Por ejemplo:
multiplicación
2

Ejercicios Factorice: 1. ax + bx + cx 2 2 2. a + ab + ab 2 2 3. – m n – mn 4. p(a + 2) – q(2 + a) 5. – a(3 – b) – x(b – 3) 6. x(a + b) – a – b 7. (ax + x – a –1) 8. a(m – n) + b(n – m) 4 4 3 3 5 3 2 5 4 3 4 4 9. x y z + x y z + x y z + x y z 10. abc + ab + bc + ac + a + b+ c + 1 2. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES Más que un método en sí, consiste en reconocer los productos notables estudiados y regresar a la multiplicación anterior. Los más importantes son: 1.1. Diferencia de cuadrados a – b = (a + b)(a – b) 1.2. Suma o diferencia de cubos a  b = (a  b)( a∓ab + b ) 1.3. Trinomio cuadrado perfecto a  2ab + b = (a  b)
2 2 2 3 3 2 2 2 2

(x + 2)(x + 1) = x + 3x + 2
factorización

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN 1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN Factor común es aquel que está contenido en todos los términos. Para hallarlo, se toma el mayor número que divida exactamente a todos los coeficientes, seguido de las variables que se repiten en todos los términos,pero afectadas del menor exponente con el que aparezcan. Una vez hallado el factor común, se escribe a continuación los factores que resultan de dividir cada término de la expresión original entre el factor común. Se tienen tres casos: 1.1. Factor común monomio Ejemplo: Factorizar 4x y z + 6x y z – 8x y z 2x y z (2x yz + 3x – 4y z )
Factor común Resultados de dividir entre el factor común
2 3 3 2 23 5 4 3 3 3 2 5 4

Para este último caso notar que para que se cumpla que es un trinomio cuadrado perfecto, uno de los tres términos (normalmente el del centro) es igual al doble del producto de las raíces cuadradas de los otros dos. Ejemplo: Factorice 9a + 30ab + 25b 9a + 30ab + 25b
2 2 2 2

1.2. Factor común polinomio Ejemplo: Factorizar 4x (2a – 3) + y z(2a – 3) (2a – 3) (4x + y z) Portanto:
Factor común Resultados de dividir entre el factor común
2 3 3 3 3


3a 2(3a)(5b)


5b

9a + 30ab + 25b = (3a + 5b) Ejercicios Factorice: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 25x – 4y 2 49x – 36 2 2 (x + 1) – (y – 2) 2 25x + 20x + 4 2 2 x – 6xy + 9y 3 3 27x + 8y 3 x – 125 2 2 a – x – 4x – 4
2 2

2

2

1.3. Factor común por agrupación Ejemplo: Factorizar ac + bd + ad + bc

Ordenandoconvenientemente tendremos:    ac + ad + bd + bc a(c + d) + b(d + c) (a + b)(c + d)
Por factor común monomio Por factor común polinomio

Escuela de Talentos IEPV. 5143 Perú

“Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento de Nuestra Diversidad”
Problemas

1. Factorice la siguiente expresión y dé como respuesta uno de sus factores primos x + x y + x y + x y + x y + x y + xy + y a) x +y 2 2 d) x – y b) x – y 2 e) x + y c) x – y
3 3 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7

10. Señale un factor primo de: 3ax – 2by – 2bx – 6a + 3ay + 4b a) x + y d) 3a + 2b b) x – y e) 3a – 2b c) x + y+ 2

11. Dada la siguiente expresión: 2. Dé uno de los factores de: bx – ab + x – ax La suma de sus factores primos es: a) a + x d) x + 1 3. Factorice: 15a + 25ac – 9ab – 15bc a) (3a + 5c)(5a + 3b) c) (3a –5c)(5a – 3b) e) (5a + 5c)(a – b) b) (3a + 5c)(5a – 3b) d) (3a – 5c)(5a + 3b) a) 1 d) 4
2 2 2

3ab + 1 + 3b + a

b) x – b e) b + 1

c) b + x a) a + 3b d) a + 3b + 2 b) a e) a + 3 + b + 1 c) 2a

12. ¿Cuántos factores primos tiene la siguiente expresión? x – 4x y + 4y b) 2 e) 5
6 3 2 4

c) 3

4. Señale un factor primo de: x – y + 6x + 9 (ax – 5b) a) x – y + 3 d) x + y + 1 b) x – y – 3...