algebre lineal

Mett ®

Problemas resueltos

Luis Zegarra Agramont

ALGEBRA LINEAL
Problema 1.
Dado el sistema
B"  +B#  B$

 B% œ ,

B"  ,B#  #B$  B% œ  B"  -B#  #B$  #B% œ +
B"  B #  B $  B % œ +  ,  i) Determine los valores de +ß , y - para que el sistema dado admita como
solución a:
Ô"×
Ô "×
Ö#Ù
Ö !Ù
\ œ Ö Ù  >Ö
Ù, para un valor del parámetro > fijo.
!
"
Õ"Ø
Õ #Øii) Determine condiciones entre +ß , y - para que el sistema dado tenga solución
exáctamente con un parámetro, luego encuentre una solución particular y la
solución del sistema homogeneo asociado en este caso.
Solución.

Ô"×
Ô "×
Ô "> ×
Ö#Ù
Ö !Ù
Ö # Ù
i) \ œ Ö Ù  > Ö
ÙÊ\œÖ
Ùß qué \ sea solución del sistema
!
"
>
Õ"Ø
Õ #Ø
Õ "  #> Ø
dado es que lo satisfaga es decir,
Ô
Ö
Ö"
"
"
Õ "

+
,
"

"
#
#
"

"×Ô "  > × Ô
,
×
 " ÙÖ # Ù Ö
Ù
ÙÖ
ÙœÖ
ÙÍ
#
>
+
 " Ø Õ "  #> Ø Õ +  ,  - Ø
#+  ,

œ#

#,  -  > œ !
+

 #-  $> œ "

+  ,  -  %> œ #

Mett ®

Resolviendo resulta: + œ

#$
"
"$
*
ß ,œ  ß -œ 
y >œ
##
""
##
##

ii)
Se debe anular una fila completa de la siguiente matriz, para obtener
exáctamente unparámetro en la solución,
Ô
Ö
Ö

"
"
"
Õ "
Ô"
Ö!
Ö
Ö!
Õ!

+
,
"

"
#
#
"

 " a#+  - b
$
,"
$ a+  $,  #- b
+  #,  #-  "

"
"
#
"
!
!
"
!

ã
,
×
ã
Ù
Ùµ † † †
ã
+
ã +,-Ø
!
"
!
!

ã
ã
ã
ã

"
$ a#,

 +b ×
Ù
+Ùß luego se debe tener
"
a#+  ,  $- b Ù
$
Ø
$a+  - b

Ð+  #,  #-  " œ ! • $a+  - b œ !Ñ Ê + œ  - • ,œ  " a-  "b así
#
resulta la solución

"
Ô $ a#,  - b ×
Ô
Ö
Ù
Ö
!
Ù  >Ö
\υ"
Ö a$-  "b Ù
Ö

Õ

'

!

Ø

 "- ×
$
Ù
"
Ùß > parámetro.
"
a-  $b Ù
'
Õ  " a-  "b Ø
#

Problema 2.
Dado el sistema
#B"  B#  B$

 B& œ

'

B"  B#  (B$  5B%  %B& œ  $
$B"  B#  B$  B%

œ

:

a) Determine 5 y : de modo que \F œ ÖB# ß B% ß B& ×ß y en estecaso obtenga P y
Y.
b) Resuelva por PY para la base \F œ ÖB# ß B$ ß B& ×
Solución.
a) \F œ ÖB# ß B% ß B& × Ê F œ
no

Ô

"
"
Õ "

!
5
"

singular Í lBl Á 0 Í $  5 Á ! Í 5 Á $

"×
 % , la exigencia de \F supone F
!Ø

Mett ®

Ô

"
"
Se debe hacer préviamente T F œ
Õ "

"×
Ô"
! ß con T œ !
Õ!
%Ø

!
"
5

!
!
"

!×
"
!Ø

con el fín de no imponercondiciones no necesarias para 5ß excepto 5 Á $ß así
Y œ

Ô"
!
Õ!

!
"
!

"×
Ô "
" y Pœ
"
Ø
Õ "
5$

!
"
5

!×
!
"Ø

b) Nótese que la matriz F asociada a la base \F œ ÖB# ß B$ ß B& × es singular, por
lo que es imposible resolver el sistema con esta exigencia.
Problema 3.

Dada la matriz

Ô"
Ö#
Ö
E œ Ö$
Ö
%
Õ&

#
$
%
&
'

$
&
(
*
""

* ×
"% Ù
Ù"* Ù
Ù
#%
#* Ø

a) Determine una base para el subespacio M7 E.
b) Determine una base para el subespacio O/< E  [ ß donde
[ œ ÖaBß Cß Dß >b Î #B  C  #> œ ! ×

Solución.
a) El espacio M7 E está generado por los vectores columna de Eß entonces

Ô"
Ö#
Ö
E œ Ö$
Ö
%
Õ&

#
$
%
&
'

$
&
(
*
""

* × Ô1
"% Ù Ö !
Ù Ö
"* Ù µ Ö !
Ù Ö
#%
!
Ø Õ!
#*

#
"
#
$
%$
"
#
$
%

* × Ô" # $ *×
 % Ù Ö! " " "Ù
Ù Ö
Ù
 ) Ù µ Ö ! ! ! ! Ù a‡b
Ù Ö
Ù
 "#
! ! ! !
 "' Ø Õ ! ! ! ! Ø

luego, una base para M7 E es {a"ß #ß $ß %ß &bß a#ß $ß %ß &ß 'b×
b) De a‡bß O/< E œ Ö aBß Cß Dß >b Î B  D  (> œ !

CD>œ! ×

por tanto

O/< E  [ œ Ö aBß Cß Dß >b Î B  D  (> œ !

CD>œ!

#B  C  #> œ ! ×

Mett ®

Ô"
Así, a ! − O/< E  [ Í ! œaBß Cß Dß >b Î !
Õ#

! "
" "
" !

(
"
#

ã !×
ã !
ã !Ø

%
"%
"(
de donde resolviendo se obtiene, B œ  >ß C œ
>, D œ  >
$
$
$

con lo que O/< E  [ œ   Öa  %ß "%ß  "(ß $bס y una base del subespacio
O/< E  [ , es Öa  %ß "%ß  "(ß $b×.

Problema 4.
En T# sobre ‘, dadas las bases

W" œ Ö "ß "  >ß a"  >b# × y W# œ Ö #  >ß $ß "  ># ×

a) Determine la matriz T...