An lisis de vibraci n forzada

Vibración forzada amortiguada

Cuando un sistema vibra, la magnitud de su movimiento decrece con el tiempo, la
oscilación del movimiento se detiene. Pero cuando un sistema se encuentra
sometido a una fuerza oscilante se presenta la vibración forzada.
En esta sección se estudiaran los diferentes casos de la misma


Cálculos Matemáticos

Para un sistema masa resorte amortiguador obtenemos lasiguiente ecuación:
𝑀𝑋̈ = 𝐹𝑠 + 𝐹𝑑 + 𝐹𝑒
Dicha ecuación puede ser escrita de la siguiente forma:
1. 𝑀𝑋̈ + 𝐶𝑋̇ + 𝐾𝑋 = 𝑓(𝑡)
Donde f (t) es una función que representa la excitación del sistema:
2. 𝑀𝑋̈ + 𝐶𝑋̇ + 𝐾𝑋 = 𝑓0 𝐶𝑜𝑠(𝑤𝑡)
Esta ecuación diferencial tiene una solución, dicha solución está formada por la
solución homogénea (parte resuelta para los casos anteriores) y una solución
particular, para encontrarla solución particular se utilizara el método de los
coeficientes indeterminados.
3. 𝑋 = 𝐴 𝑆𝑖𝑛 (𝑤𝑡) + 𝐵 𝐶𝑜𝑠(𝑤𝑡)
Al sustituir 3 en 2 obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
4. 𝑤𝐶𝐴 + (𝐾 − 𝑤 2 )𝐵 = 𝑓0
5. (𝐾 − 𝑤 2 𝑀)𝐴 + 𝑤𝐶𝐵 = 0
Donde al resolver obtenemos los valores de A y B como:
𝐴=

𝑤𝐹0
(𝐾 − 𝑤 2 𝑀) + 𝑊 2 𝐶 2

𝐵=

(𝐾 − 𝑤 2 𝑀)𝐹0
(𝐾 − 𝑤 2 𝑀) + 𝑊 2 𝐶 2

Es decir, nuestra solución particular es lasiguiente:

𝑥=

(𝐾 −

𝐹0
2
𝑤 𝑀)

+ 𝑊2𝐶2

(𝑊𝐶 𝑆𝑖𝑛(𝑤𝑡) + (𝐾 − 𝑤 2 𝑀)𝐶𝑜𝑠(𝑤𝑡))

Para simplificar la ecuación hacemos el siguiente cambio:
∅ = tan−1(

𝑤𝑐
)
𝑘 − 𝑤 2𝑀

Y nos queda la siguiente solución particular:
𝑋=

𝐹0
√(𝐾 − 𝑤 2 𝑀)2 + 𝑊 2 𝐶 2

cos(𝑤𝑡 − ∅)

Recordamos que la solución a una ecuación diferencial de 2º orden no homogénea
es la suma de la solución homogénea más la particular (x=xh+xp), yque tenemos
tres posibles soluciones homogéneas que dependen de los parámetros c
(coeficiente de rozamiento viscoso), M (masa móvil) y k (constante elástica), y que
definen los casos estudiados anteriormente: sobre amortiguado, críticamente
amortiguado y Subamortiguado.

Para el caso de subamortiguamiento:
C 2

Xc = A1 ℯ −(c⁄2m)t senωd t + A2 ℯ −(c⁄2m)t · cosωd t

ωd = ωn √1 − (C )
c

Obteniendonuevamente la solución particular obtenemos:
Xp =

(Pm ⁄k)·sen(ωn t−ϕ)
2 2

√[1−( ωf ) ] +(2·ξ· ωf )
ωn

tan ϕ =
2

2·ξ·ωf ⁄ωn
[1−(ωf ⁄ωn )2 ]

ωn

Tal y como se realizó para los otros casos la solución completa del sistema, está dada
por la ecuación:
x(t) = A1 · ℯ −(c⁄2m)t · senωd t + A2 · ℯ −(c⁄2m)t · cosωd t +

(Pm⁄k) · sen(ωf t − ϕ)
2

2
2
√[1 − ( ωf ) ] + (2 · ξ · ωf )
ω
ω
n

n

Ahora deseamosobtener las ecuaciones de velocidad y aceleración, ya que la ecuación
anterior describe la posición, por lo que la ecuación anterior es derivada 2 veces.

c
ẋ (t) = A1 · ℯ −(c⁄2m)t · [ωd · cosωd t − ( ) senωd t] + A2 · ℯ −(c⁄2m)t
2m
c
· [−ωd · senωd t − ( ) cosωd t]
2m
(Pm ⁄k) · ωf
[senϕ · senωf t + cosϕ · cosωf t]
+
2

2
2
√[1 − ( ωf ) ] + (2 · ξ · ωf )
ω
ω
n

n

c 2
c
) + A2 ( ) · ωd − A1 ·ωd 2 ] + cosωd t
2m
m

ẍ (t) = ℯ −(c⁄2m)t {senωd t · [A1 (

c 2
c
) − A1 ( ) · ωd + A2 · ωd 2 ]}
2m
m

· [A2 (

(Pm ⁄k) · ωf 2

+

[senϕ · cosωf t − cosϕ · senωf t]

2 2

2
√[1 − ( ωf ) ] + (2 · ξ · ωf )
ω
ω
n

n

Donde:
(Pm ⁄k)

xm =

2

2
2
√[1 − ( ωf ) ] + (2 · ξ · ωf )
ω
ω
n

n

Para obtener las constantes A1 y A2 , se proponen condiciones iniciales, dichas
condiciones iniciales son:
x(0) = X0ẋ (0) = Ẋ0 , t =0

Ecuación del desplazamiento
x(0) = X0 = A1 · ℯ −(c⁄2m)(0) · sen(0ωd (0)) + A2 · ℯ −(c⁄2m)(0) · cos(ωd (0))
El resultado de aplicar las condiciones iniciales es el siguiente:
X 0 = A2
Velocidad:
c
ẋ (0) = Ẋ0 = A1 · ℯ −(c⁄2m)(0) · [ωd · cosωd (0) − ( ) senωd (0)] + A2 · ℯ −(c⁄2m)(0)
2m
c
· [−ωd · senωd (0) − ( ) cosωd (0)]
2m

Finalmente obtenemos las 2 constantes:
A2 = X 0A1 =

y

c
Ẋ0 +( )X0
2m

ωd

Ahora que conocemos las constantes solamente falta sustituirlas en las ecuaciones del
sistema anterior obteniendo como resultado:
Posición:
x(t) = [

c
Ẋ0 + (2m) X 0
ωd

+

] · ℯ −(c⁄2m)t · senωd t + X 0 · ℯ −(c⁄2m)t · cosωd t
(Pf ⁄k) · sen(ωf t − ϕ)
2

2
2
√[1 − ( ωf ) ] + (2 · ξ · ωf )
ω
ω
n

n

Velocidad:

ẋ (t) = [

c
Ẋ 0 + (2m) X 0
ωd

c
] · ℯ −(c⁄2m)t ·...