Analisis Funcional

Pedro J. Miana

Curso de An´lisis Funcional a
–Departamento de Matem´ticas a Universidad de Zaragoza–

Presentaci´n o

Escribir un libro de texto de An´lisis Funcional en el Departamento de a Matem´ticas de la Universidad de Zaragoza es un gran reto. La fama de a este departamento tanto a nivel nacional como a nivel internacional nos hace ser exigentes con nosotros mismos. Presentamoseste texto con humildad e ilusi´n. o El An´lisis Funcional es una asignatura de s´ a ıntesis y de abstracci´n, con o gran cantidad de aplicaciones dentro del An´lisis Matem´tico, en otras raa a mas de las Matem´ticas e incluso en otras ciencias. Tiene una gran belleza a intr´ ınseca, aplicaciones variadas, y es el origen de importantes teor´ matem´ıas a ticas. Existen buenos libros, algunosverdaderas obras de arte y otros casi enciclop´dias, del An´lisis Funcional. A menudo est´n escritos para el profesor o e a a para un alumno avanzado, tal vez estudiante de tercer ciclo. Nos proponemos presentar un texto base adecuado para el alumnado de segundo ciclo de los actuales planes de estudio. Este libro est´ pensado para una asignatura cuaa trimestral de 7’5 cr´ditos. El ultimo cap´ e ´ ıtulosobre teor´ espectral puede ıa ser suprimido en asignaturas de menor duraci´n. Cada cap´ o ıtulo incluye una secci´n de ejercicios y otra de notas hist´ricas que permiten al lector como o prender los resultados del An´lisis Funcional de una forma m´s coherente. a a Quiero terminar esta presentaci´n mostrando mi agradecimiento a todas o las personas que me han ayudado a elaborar y mejorar este texto.Gracias a Raquel, Jos´ Luis, Bienve y a todos mis compa˜eros del ´rea de An´lisis e n a a Matem´tico de la Universidad de Zaragoza por su ayuda y apoyo. a Deseo que la lectura de este libro sea interesante y satisfactoria.

Zaragoza, 13 de enero de 2006

P.J.M.

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A Natalia

Breves apuntes hist´ricos o

El origen del An´lisis Funcional es m´ltiple. Hay quien lo sit´a en el proa uu blema de la cuerda y membrana vibrantes y los problemas de contorno de las ecuaciones diferenciales. Cercana se encuentra la F´ ısica newtoniana con sus numerosos problemas, a menudo inconexos en su formulaci´n y que dieron o origen, entre otras, a las teor´ del c´lculo de variaciones y de las ecuaciones ıas a integrales. Volterra al estudiar la variaci´n del ´rea encerrada por una curva o acuando la curva var´ trabaja con aplicaciones que tienen por dominio de ıa, definici´n un conjunto de funciones. Hadamard les da el nombre de “funo cionales” por lo que Levy propone el nombre de la teor´ que la estudia como ıa “An´lisis Funcional”. a Literalmente el t´rmino “An´lisis Funcional” hace referencia a la idea de e a analizar espacios de funciones a trav´s de funcionales actuando en estosese pacios. Eligiendo h´bilmente el espacio de funciones y los funcionales sobre a ´l, se podr´ resolver ecuaciones funcionales. En las primeras d´cadas del e ıan e siglo XX, esta t´cnica fue empleada satisfactoriamente en diversas ´reas como e a ecuaciones integrales, superficies minimales, ecuaciones en derivadas parciales, an´lisis arm´nico y problema de los momentos. a o Durante los a˜os veintela teor´ espectral de operadores tuvo sorprenn ıa dentes aplicaciones a problemas unicamente planteados en espacios de Hilbert. ´ La aparici´n en 1932 del libro de John von Neumann “ Mathematische Grundo lagen der Quantenmechanik ” y de “ Linear Transformations in Hilbert Spaces and Applications in Analysis ” de Marshall Stone mostraron la aparici´n de o la teor´ de operadores (en espacios deHilbert) como una parte propia pero ıa ´ ıntimamente relacionado con lo que se conoce ahora por An´lisis Funcional a Lineal. Por aquellos a˜os el An´lisis Funcional Lineal experiment´ su primer gran n a o desarrollo. Muchas de las ideas empleadas cristalizaron en principios generales que se formularon y demostraron. Varias t´cnicas evolucionaron para e aplicarlas a problemas lineales m´s generales...