Longitud De Arco

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Longitud de arco
* En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o caminorecorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, lallegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos caso

Métodos modernos
Al considerar una curva definida por una función  y su respectivaderivada  que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
(1)
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funcionesdependientes de t como  e , la longitud del arco desde el punto  hasta el punto  se calcula mediante:
(2)
Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polarestán relacionados mediante , la longitud del arco comprendido en el intervalo , toma la forma:
(3)
En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos deintegración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segunda especie.
* Entre las curvas con soluciones cerradas estánla catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.

Deducción de la fórmula para funciones de una variable

Aproximación por múltiplessegmentos lineales.

Para un pequeño segmento de curva, Δs se puede aproximar con el teorema de Pitágoras.
Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una función ,y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva s que va desde un punto a a uno b. Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas...