ANALISIS HOTELERA

A )Área de la región sombreada
Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.
3977640158750
00

lím
n^[f(Xo) + f(Xi) + f(X2) ++ f(Xn-l )] A X
(seutiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)
lírn¿f(x¡)Ax
lím
n^:'[f(Xl) + f(X2) + f(X3) ++ f(Xn)] A X
(se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo)
29933900+ f(tn)]AX
00+ f(tn)]AX

li m
n-*°[f(tl)

+

f(t2) + f(t3)

+
(se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo)
Este tipo de límites apareceen una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.
Definición 1: Si fes una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la
[bf(x)dx
integral definida de f de a a b, que se indica Ja es el numero:
+ f(Xn-i)] A xo bien00fbf(x)dx lím
Ja= n-*» [f(Xb) +f(Xl) +f(X2) +
Jaf(x)dx_
00fbf(x)dx lím
Ja= n-*» [f(Xb) +f(Xl) +f(X2) +
Jaf(x)dx_
1880870597535donde xo=a, xn=byAx =
00donde xo=a, xn=byAx =
(la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [x¡ 1, x¡] con i = 1, .., n)
Definición 2: Si fes una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la
fbf(x)dx
integral definida de fde a a b, que seindica Ja es el número:
íafMdx= ™[f(Xl) + f(x2) + f(xs) +
+ f(Xn)] A X
1746250289560donde xo = a, Xn = b y A x
00donde xo = a, Xn = b y A x
(la función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [x¡_i, x] con i = 1,.., n)
Definición 3: Si fes una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la
fbf(x)dx
integral definida de fde a a b, que se indica Ja es elnúmero:
fbffx1dx lím
Ja > = n-*» [f(tl) + f(t2) + f(t3) +

+ f(tn)] AX
1682750213360donde xo = a, Xn = byAx:
00donde xo = a, Xn = byAx:

J?f(x)dx=nlÍSgfít')AX
5169535198120
00

(la función se evalúa en cualquier punto t¡ de cada subintervalo [x¡_i, x¡] con i 1,..,n)
El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración .
Notacióny terminología:
Cuando se calcula el valor de la i ntegral definida se dice que se e valúa la integral.
La continuidad asegura que los límites en las tres definiciones existen y dan el
fbf(x)dx
mismo valor por eso podemos asegurar que el valor de Ja es el mismo independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función (extremo derecho, extremo izquierdo o cualquierpunto en cada subintervalo). Enunciamos entonces una definición más general.
Definición de integral definida: Sea f una función continua definida para a < x
b-a
< b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho a x = n Sean xo = ayxn = by además xo, x-iXn los p untos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto t¡ en estos subintervalos de modo tal que t¡ se encuentraen el i-ésimo subintervalo [x¡_i, x] con i = 1, .., n.
Entonces la integral definida de f de a a b es el número n
lím Tf(tj )Ax n-x»¡=1
Jaf(x)dx
La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica paramuchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.
]Tf(t¡)Ax
Observación: La suma ¡=1que aparece en la definición de integral
definida se llama suma de Riemann en honor al matemático...