Analisis matematico

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Temas de Análisis Matemático I
1. 2. 3. 4. 5. 6. Funciones trigonométricas Funciones Hiperbólicas La circunferencia Raíces irracionales Aplicaciones de la derivada y algunos usos en la electrónica Bibliografía

A) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Una función es PERIODICA con período P contenga a x y si además: f(x + P) = f(x) para todo x D(f). El mínimo número positivo P conesta propiedad se denomina: periodo primitivo de f. Son ejemplos de funciones periódicas las funciones trigonométricas: seno, coseno, secante y cosecante, tienen periodo P = 2 , mientras que las funciones tangente y cotangente tienen periodo P = . En efecto,

1. EL SENO Y LA COSECANTE: a. El Seno f(x) = y = sen x: Función seno: función real de variable real Dominio: Dom(sen(x))=R Rango: [-1,1]Paridad: sen x = - sen(-x) [función impar] Periodo: 2 b. La cosecante f(x) = y = cosec x = 1/sen x Función cosecante: Función real de variable real: Dominio: Dom(cosec(x))= R-{x/x = k , k Rango: R - Paridad: cosec x = -cosec(-x) [función impar]

Período: 2

2. EL COSENO Y LA SECANTE: a. El coseno f(x) = y = cos x Función coseno: función real de variable real Dominio: Dom(cos(x))=R Rango: [-1,1]Paridad: cos x = cos(-x) [función par] Periodo: 2 b. La secante f(x)= y = sec x = 1/cos x Función secante: Función real de variable real: Dominio: Dom(sec(x))=R-{x/x = (2k+1) Rango: R - Paridad: sec x = sec(-x) [función par]

Periodo: 2

3. LA TANGENTE Y LA COTANGENTE a. Tangente F(x) = y = tg x: Función tangente: función real de variable real Dominio: Dom(tg(x))=R - {x/x = (2k+1) Rango: RParidad: tg x = - tg(-x) [función impar] Periodo: b.- La cotangente: f(x) = y = ctg x = 1/tg x Función cotangente: Función real de variable real: Dominio: Dom(ctg(x))= R -{x/x = k , k

Rango: R Paridad: ctg x = - ctg(-x) [función impar] Periodo: (mínimo)

B) Funciones hiperbólicas 1.- Introducción

Al construir una circunferencia trigonométrica (radio 1), como en la figura 1, se puedenobtener las funciones circulares, siendo un caso especial las funciones trigonométricas. La ecuación de una 2 2 circunferencia de radio 1 (y centro en el origen) es x + y = 1 y la ecuación de una hipérbola equilátera de 2 2 radio 1 (y centro el origen) es x - y = 1. Como se puede observar, ambas son muy parecidas, por lo que se definieron las funciones hiperbólicas:    Seno hiperbólico: Sh(x) =BC/OA Coseno hiperbólico: Ch(x) = OB/OA Tangente hiperbólica: Th(x) = BC/OB

De la misma manera que en el caso de las funciones trigonométricas habituales, el área sombreada de la hipérbola que se corresponde con un ángulo 2 tomando OA como la unidad, es  . Llamemos x al área del sector de ángulo 2 (que hemos visto es igual a ). Entonces el sh  = sh x = BC, ch  = ch x = OB, th  = th x = ADTambién se puede establecer la noción de estas funciones hiperbólicas en la gráfica de una parábola, a partir de las coordenadas que posee, asignándole a las abscisas el valor del coseno hiperbólico y a las ordenadas el valor del seno hiperbólico, lo cual se aprecia a continuación:

2.- Definición y gráficas

En ciertas ocasiones las combinaciones de e , e aparecen frecuentemente. En talesecuaciones, se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas definidas como sigue: a. Seno hiperbólico (senh)

x

-x

b. Coseno hiperbólico (cosh) c. Tangente hiperbólica (tanh)

d. Cotangente hiperbólica (coth)

e. Secante hiperbólica (sech)

f.

Cosecante hiperbólica (csch)

Algunas observaciones de las gráficas: 1. senh(x) = 0,si x = 0 2. Son funciones impares, [f(-x) = - f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al origen, las funciones: f(x) = senh x ; f(x) = tgh x; f(x) = cotgh x; f(x) = cosch x 3. Son funciones pares, [f(-x) = f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al eje y, las funciones: f(x) = cosh x; f(x) = sech x 3.- Propiedades de las funciones hiperbólicas: 1. cosh²x - senh²x =...