Analisis numerico
Páginas: 6 (1481 palabras)
Publicado: 12 de mayo de 2011
Análisis Numérico
1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD ¿Qué es un método numérico? Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo proposicional, etc.).Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica) o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las característicasespeciales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores). En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de redondeo. 1.1. ARITMÉTICA FINITA. Siendo los computadores la herramienta básica en los métodos numéricos es conveniente indicar cómo son los números del computador y cómo se simula su aritmética. La mayoría de los computadores usansólo un subconjunto finito, relativamente pequeño, de los números reales para representar a "todos" los números reales; este conjunto, que sólo contiene números racionales y que describiremos más adelante, es llamado conjunto de números de punto flotante o conjunto de números de máquina en punto flotante o simplemente conjunto de punto flotante. Cada número del computador se representa mediante unnúmero finito de dígitos (aritmética finita), según se indica a continuación: Un número del computador o de punto flotante, distinto de cero, se describe matemáticamente en la forma
σ
*
(.a1a2 . . . at)β
*
βe
En la cual los símbolos que allí aparecen, tienen el siguiente significado: σ = +1 o σ = −1 es el signo del número. β es un entero que denota la base del sistema numérico usado.Por lo general β = 2 (Sistema Binario), β = 8 (Sistema Octal) o β =16 (Sistema Hexadecimal).
ai, i = 1,2,...,t, es un entero con 0≤ ai ≤β−1. Los enteros 0,1,...,(β −1) son llamados dígitos
en la base β . Nosotros asumiremos en todo lo que sigue que a1 ≠ 0, en cuyo caso el número se dice que está en forma normalizada.
(.a1a2 . . . at)β
denota la suma
a1 β1
+
a2 β2
+
...+
at βt
A esa suma se le llama mantisa o fracción del número de punto flotante. El entero t indica el número de dígitos en la base β que se usan para representar el número de punto flotante, y es llamado precisión. Por lo general t=6 o t=7 con β =10 (precisión sencilla), t=14 o t=15 con β =10 (doble precisión). En algunos computadores se pueden hacer representaciones en precisión sencilla,doble precisión e incluso en precisión mayor. El valor e es un entero llamado el exponente, y es tal que L≤e≤U para ciertos enteros L y U; es común encontrar L = −U o L = −U±1. Un caso frecuente es L = −63 y U= 64, para un total de 128 posibles exponentes. El número cero requiere una representación especial.
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Análisis Numérico
De modo que un conjunto de punto flotante F quedacaracterizado por cuatro parámetros: a) La base β, b) La precisión t, c) Los enteros L y U tales que L≤e≤U, donde e es el exponente. Cualesquiera sean los parámetros elegidos, los conjuntos de punto flotante correspondientes comparten las mismas características cualitativas, entre ellas la carencia de algunas de las propiedades algebraicas de que gozan los números reales. Una de las características de todoconjunto de punto flotante F es que es finito y tiene
2(β-1)βt-1(U-L+1)+1
números diferentes (incluyendo el cero), y donde los distintos de cero están en forma normalizada. En efecto:
a1 puede tomar β−1 valores y ai, i = 2,3,...,t puede tomar β valores, así que hay
(β-1)βt-1
fracciones positivas distintas.
Ahora, considerando que el número de posibles exponentes es U−L+1, que el...
1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD ¿Qué es un método numérico? Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo proposicional, etc.).Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica) o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las característicasespeciales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores). En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de redondeo. 1.1. ARITMÉTICA FINITA. Siendo los computadores la herramienta básica en los métodos numéricos es conveniente indicar cómo son los números del computador y cómo se simula su aritmética. La mayoría de los computadores usansólo un subconjunto finito, relativamente pequeño, de los números reales para representar a "todos" los números reales; este conjunto, que sólo contiene números racionales y que describiremos más adelante, es llamado conjunto de números de punto flotante o conjunto de números de máquina en punto flotante o simplemente conjunto de punto flotante. Cada número del computador se representa mediante unnúmero finito de dígitos (aritmética finita), según se indica a continuación: Un número del computador o de punto flotante, distinto de cero, se describe matemáticamente en la forma
σ
*
(.a1a2 . . . at)β
*
βe
En la cual los símbolos que allí aparecen, tienen el siguiente significado: σ = +1 o σ = −1 es el signo del número. β es un entero que denota la base del sistema numérico usado.Por lo general β = 2 (Sistema Binario), β = 8 (Sistema Octal) o β =16 (Sistema Hexadecimal).
ai, i = 1,2,...,t, es un entero con 0≤ ai ≤β−1. Los enteros 0,1,...,(β −1) son llamados dígitos
en la base β . Nosotros asumiremos en todo lo que sigue que a1 ≠ 0, en cuyo caso el número se dice que está en forma normalizada.
(.a1a2 . . . at)β
denota la suma
a1 β1
+
a2 β2
+
...+
at βt
A esa suma se le llama mantisa o fracción del número de punto flotante. El entero t indica el número de dígitos en la base β que se usan para representar el número de punto flotante, y es llamado precisión. Por lo general t=6 o t=7 con β =10 (precisión sencilla), t=14 o t=15 con β =10 (doble precisión). En algunos computadores se pueden hacer representaciones en precisión sencilla,doble precisión e incluso en precisión mayor. El valor e es un entero llamado el exponente, y es tal que L≤e≤U para ciertos enteros L y U; es común encontrar L = −U o L = −U±1. Un caso frecuente es L = −63 y U= 64, para un total de 128 posibles exponentes. El número cero requiere una representación especial.
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Análisis Numérico
De modo que un conjunto de punto flotante F quedacaracterizado por cuatro parámetros: a) La base β, b) La precisión t, c) Los enteros L y U tales que L≤e≤U, donde e es el exponente. Cualesquiera sean los parámetros elegidos, los conjuntos de punto flotante correspondientes comparten las mismas características cualitativas, entre ellas la carencia de algunas de las propiedades algebraicas de que gozan los números reales. Una de las características de todoconjunto de punto flotante F es que es finito y tiene
2(β-1)βt-1(U-L+1)+1
números diferentes (incluyendo el cero), y donde los distintos de cero están en forma normalizada. En efecto:
a1 puede tomar β−1 valores y ai, i = 2,3,...,t puede tomar β valores, así que hay
(β-1)βt-1
fracciones positivas distintas.
Ahora, considerando que el número de posibles exponentes es U−L+1, que el...
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