Angulo

Angulo

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyoorigen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

 Se denomina "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentesen el punto de intersección.

Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a lasmanecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Bisectriz
Bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano queequidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.
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Propiedades
Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados del ángulo
Dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y sus bisectrices se cortan conformando ángulos rectos entre ellas.

En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y ladel ángulo x'Oy es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180º, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90º.

Mediatriz
Mediatriz

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como larecta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se la llama simetral. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento AB.
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Aplicación en triángulos
Las tres mediatrices de cualquier triángulo se intersecan siempre en un solo punto denominado circuncentro, el cual es el centro de lacircunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, es decir, de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Demostración
En efecto, sea  un segmento delimitado por los puntos  y  (véase la figura 1). Sea  el punto medio del segmento y  la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea  un punto sobre la recta . En la simetría axial respecto de la recta , el punto  es invariante y lospuntos  y son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento  se transforma en el segmento , ambos segmentos son congruentes y el punto  equidista de los puntos  y . En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta  pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión.
Recíprocamente, (véase figura 2) sea  un segmento y sea  un punto que equidista de  y de , esto es,que los segmentos  y  son iguales. Consideremos la bisectriz  del ángulo  y sea  la intersección de dicha bisectriz con el segmento .
Por construcción, los ángulos  y  son iguales y en la simetría axial respecto de la recta  se transforman uno en el otro. Como los segmentos  y  son iguales en esta simetría, los puntos  y  son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto  es punto medio del...