Angulos

Capítulo 1. Conceptos Básicos de Geometría

1.1 Angulos entre paralelas.
Líneas paralelas. Se llaman líneas paralelas las que se hallan en un mismo plano y no se
intersectan por mas que se prolonguen.
Si una línea corta a un par de paralelas (l y m) entonces forma ángulos con éstas,
los cuales mantienen la siguiente relación:
∠1 = ∠2 y se llaman ángulos opuestos por el vértice
∠1 = ∠3 yse llaman ángulos alternos internos
∠1 = ∠4 y se llaman ángulos correspondientes

l

4 5
3

1
2

m

Figura 1

además, también tenemos que ∠4 + ∠5 = 180° y se dice que ∠4 y ∠5 son
suplementarios. Aprovechando todo ésto podemos probar el siguiente:
Teorema .- La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
A

2

1

l

3

2
B

3
C

Figura 2

Demostración:Sea l una línea paralela a BC, la demostración es evidente al observar la
figura 2, ya que ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

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Capítulo 1. Conceptos Básicos de Geometría
Problemas
1.- Encontrar cuánto vale el ángulo exterior θ en la siguiente figura si son conocidos los ángulos α y β:
A

α

β

θ
C

B

Figura 3
2.- Encontrar cuánto vale la suma de los ángulos internos de un polígono de nlados.

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Capítulo 1. Conceptos Básicos de Geometría

1.2 Angulos en circunferencias
Existen distintos tipos de ángulos en las circunferencias, los cuales podemos
calcular en función de los arcos que intersecten. La manera en que se calculan depende de
si el vértice del ángulo se encuentra dentro, sobre ó fuera de la circunferencia. Veamos
cada uno de ellos y la manera decalcularlos:
Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de un círculo y su valor
es igual al arco que intersecta medido en radianes.
A

α

O

α = arc(AB)

B

Figura 4

Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y su valor es
igual a la mitad del arco que intersecta:
A

β =

arc ( AB )
2

β
B

Figura 5

Un ángulo semiinscrito es el quetiene su vértice sobre la circunferencia y está
formado por una línea tangente y una secante. Su valor es igual a la mitad del arco que
intersecta:
A
θ

θ =

arc ( AB )
2
B

Figura 6

Ejemplo.- Demuestre que el valor de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo
central que intersecta el mismo arco.
Solución:
Probemos ésto para el caso cuando uno de los lados del ángulocoincide con un diámetro:

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Capítulo 1. Conceptos Básicos de Geometría

A
α

C

α

O

β

B

Figura 7

En la figura anterior sea CB un diámetro, sean ∠ACB = α (ángulo inscrito) y
∠AOB = β (ángulo central), queremos probar que α = β/2. Para ésto observemos que
tanto OA como OC son radios de la circunferencia, por lo que el triángulo ∆AOC es
isósceles, por lo tanto ∠ACO = ∠CAO= α. Y utilizando el resultado del ejercicio 1 de la
sección 1.1, tenemos que ∠AOB = ∠ACO + ∠CAO = α + α = β, por lo tanto β=2α, lo
cual queríamos demostrar.
Ahora faltaría demostrar lo anterior para las siguientes figuras, lo cual el lector
puede probar fácilmente utilizando el caso que hemos probado.
A

C

α

C

A

α

O β

O β

B

B
Figura 8

Teorema 1.- La magnituddel ángulo entre dos líneas que se cortan dentro de un círculo
es igual a la semisuma de los arcos que cortan dichas líneas.
Es decir
D
A

P

arc( AB) + arc(CD )
α=
2

B

C

Figura 9

Demostración: Se traza el segmento CB, formándose así el triángulo PCB. Ahora como
∠DPC = ∠PCB + ∠PBC, entonces:

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Capítulo 1. Conceptos Básicos de Geometría

∠DPC =

arc( AB) arc(CD )+
2
2

Teorema 2.- La magnitud del ángulo entre dos líneas que se cortan fuera de un círculo es
igual a la semidiferencia de los arcos que cortan dichas líneas.
Es decir
A
D

α=

arc( AB) − arc(CD )
2

P

C

B

Figura 10

Demostración: Se traza el segmento DB, formándose así el triángulo PDB. Ahora como
∠BDA = ∠DPB + ∠DBP, despejando ∠DPB = ∠BDA - ∠DBP entonces
arc( AB)...