anova

BIOMETRÍA
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Sergio Neira – Hugo Arancibia
22 de mayo de 2012

Hipótesis para dos muestras
Inferencia sobre la varianza poblacional

Entre los procedimientos estadísticos más comúnmente
aplicados se encuentra la comparación de dos muestras. Su
fin es inferir si existen diferencias entre dos poblaciones
muestreadas.

El objetivo de la mayoría de las hipótesis sobre dosmuestras
es realizar inferencia sobre parámetros poblacionales
mediante el examen de estadígrafos de la muestra.

Prueba para la diferencia entre dos medias

Supongamos un experimento en que 13 personas fueron separadas
al azar en dos grupos, un grupo de seis y uno de siete.
Los miembros del primer grupo recibieron una droga (B), y los
miembros del segundo grupo recibieron otra droga (G).Se extrae
sangre de cada persona y se registra el tiempo (en minutos) que
toma la sangre en coagular.
La hipótesis de dos colas puede proponerse para preguntar si el
promedio del tiempo de coagulación de la sangre de las personas
tratadas con la droga B es igual al tiempo de coagulación en la
sangre de las personas tratadas con la droga G.

Droga B
8.8
8.4
7.9
8.7
9.1
9.6

DrogaG
9.9
9.0
11.1
9.6
8.7
10.4
9.5

Si ambas muestras vienen de poblaciones normales, y si las dos
poblaciones tienen igual varianza, entonces podemos calcular un
valor t en forma análoga al test-t que ya conocimos anteriormente.
El valor t para probar la hipótesis del ejemplo anterior y que
concierne a la diferencia de dos medias poblacionales es:

Es la diferencia entre las dosmedias

Es el error estándar de la
diferencia entre las medias
muestrales.
Es la varianza de la diferencia
entre las medias

Estadígrafos muestrales

Parámetros poblacionales

La varianza de la diferencia entre dos variables independientes es igual a la
suma de las varianzas de las dos variables. Entonces,

Como

Escribimos

La prueba t para dos muestras requiere que

Podemosescribir

Entonces, para calcular el estimado de

Necesitamos un estimador de σ2

Se supone son buenos estimados de σ2

Calculamos la varianza conjunta:

Y

Entonces,

La ecuación

Que para muestras de igual tamaño (n1=n2) nos da

Consideremos los siguientes datos:

n1=6
n2=7
v1=5
v1=6
Media1 =8.75 min Media2=9.74 min
SS1 =1.6950 min2 SS1 =4.0171 min2

= 2.201Talla plantas (cm) Talla plantas (cm)
Fertilizador 1

Fertilizador 2

48.2
54.6
58.3
47.8
51.4
52.0
55.2
49.1
49.9
52.6

52.3
54.4
55.6
53.2
61.3
58.0
59.8
54.8

La prueba para dos muestras discutida en la sección anterior
aplica cuando las dos muestras son independientes.
Independencia implica que cada dato de la primera muestra no
está asociado de ninguna manera concualquier dato
específico de la segunda muestra.
Sin embargo, hay situaciones cuando cada observación en la
muestra 1 está correlacionada de alguna forma con una
observación en la muestra 2.
En este caso, decimos que la data ocurre en pares.

Por ejemplo, podríamos probar la hipótesis de que la pierna
delantera izquierda y la pierna trasera izquierda de los venados
son iguales.
Tomamosestas dos medidas en un número de venados, pero
debemos recordar que la variación en la muestra se puede
deber a dos factores posibles:
1. La hipótesis nula puede ser falsa, existiendo de hecho una
diferencia entre las patas delanteras y las traseras.
2. Los venados tienen distintas tallas y para cada venado el largo de
la pierna trasera está correlacionada con el largo de la piernadelantera (esto es, un venado con una pierna delantera larga es
probable que tenga una pierna trasera larga.

El tipo de hipótesis planteado en la hipótesis anterior (que la longitud
de las piernas delanteras y traseras es igual), son:

H 0 : 1   2  0
H A : 1  2  0
Como vimos anteriormente, también podría establecerse como:

H 0 : 1   2
H A : 1  2

Podríamos establecer...