Aplicaciones de derivadas trigonometricas

Aplicaciones de derivadas trigonométricas
Instituto Tecnológico de Puebla

Ing. Electrónica
Camacho Escandón Gustavo

INTRODUCCION:
En la vida cotidiana nosencontramos con problemas de encontrar la mejor forma de hacer algo. Por ejemplo, un medico necesita seleccionar la menor dosis de una droga que curara cierta enfermedad, a unfabricante le gustaría minimizar el costo de distribución de sus productos. Algunas veces un problema de este tipo puede formularse de modo que implique maximizar o minimizaruna función de un conjunto en especifico, pues para este tipo y mucho mas de problemas nos pueden ayudar algunos métodos de derivación.

OBJETIVO:
Saber usar o más bienaplicar derivadas de funciones trigonométricas en problemas de la vida cotidiana.

PROBLEMA:
Conforme el sol se oculta atrás de un edificio de 120 pies de altura, lasombra del edificio crece. ¿Qué tan rápido está creciendo la sombra (en pies por segundo) cuando los rayos del sol forman un ángulo de π4 ?

SOLUCION:
Sea x la longitudde la sombra, en pies y sea θ el ángulo de los rayos del sol. Y t será el tiempo medido en segundos. Entonces x es una función de θ,θ es una función de t. se pide encontrarDtx. Con base en la figura, vemos que:
x=120cotθ,
y como la tierra da una vuelta cada 86,400 segundos, tenemos:

Dtθ=-2π86,400.
El signo negativo lo utilizamos ya queθ disminuye conforme el sol se oculta). Utilizando la regla de la cadena y la regla para la derivada de la cotangente, tenemos:

Dtx= Dθx∙Dtθ=Dθ(120cotθ)∙Dtθ=120(-csc2θ)-2π86,400
=π360csc2θ
Cuando θ=π4, tenemos:
Dtx=π360csc2π4≈0.0175pies
Observemos que cuando el sol se oculta, θ esta disminuyendo (de aquí que,
Dtx, es positiva).