Aplicaciones de la derivada

Aplicaciones geométricas de la derivada:

1. Dirección de una curva en un punto

La dirección de una curva en un punto dado es igual a la dirección de la recta tangente a la curva en esepunto.

La dirección de la tangente está dada por su ángulo de inclinación. Esto es:
[pic] ( = ángulo de inclinación

Ejemplo:

Sea la curva de ecuación y = x2 – 2x. ¿En qué punto latangente a la curva forma 45° con el eje X?

tan 45° = 1 = m = [pic]= 2x – 2

2x – 2 =1 ( x = 3 / 2

Sust.en la ec. y = –3 / 4

← P( 3/2 , -3/4 )

Ejemplo:

Sea la curva de ecuación y = x4 – 2x2 Determinar los puntos en los cuales la tangente a la curva esparalela al eje X y al eje Y

El ángulo de inclinación de una recta paralela al eje X es ( = 0°

tan 0° = 0 = dy/dx = 4x3 – 4x

x3 – x = 0

x (x2 – 1) = 0 (x = 0 , x = (1

Los puntos son: P1(0 , 0) , P2(-1, -1) , P3(1 , -1)

Para la recta tangente al eje Y, ( = 90°

tan 90° ( ( ( en ningún punto latangente es vertical.

2. Ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva en un punto dado
Sea P(x1 , y1) un punto de una curva cuya ecuación es y = f(x).

La ecuación de la tangentea la curva en el punto P es
[pic]

en donde [pic]

La ecuación de la normal en el punto P es
[pic]

en donde [pic]

Ejemplos:
1) Determinar las ecuaciones de lasrectas tangente y normal a la curva de ecuación [pic] en el punto P(1, 2)

2) Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación [pic] en el puntoP(1, 2)

3) Obtener la ecuación de la rectas tangente y normal a la curva
[pic] que es perpendicular a la recta [pic]

3. Angulo entre dos curvas
El ángulo de...