Aplicaciones de la derivada

INSTITUTO TECNOLOGICO
De Lázaro Cárdenas

CÁLCULO DIFERENCIAL

INVESTIGACION
APLICACIONES DE LA DERIVADA

NOMBRE DEL ALUMNO: Aquino Prado Arantza

SEMESTRE: AGOSTO-DICIEMBRE DE 2011

SALON: M4

FECHA DE ENTREGA: jueves 8 de diciembre del 2011

PROFESOR: M.C. GONZALO GUICHARD HERNANDEZ

11-13 |

“2011, Año delTurismo en México”

“2011, Año del Turismo en México”

Ingeniería en Gestión Empresarial
Asignatura:
Calculo Diferencial

Profesor:
M.C. GONZALO GUICHARD HERNANDEZ

Trabajo de investigación:
APLICACIONES DE LA DERIVADA

Realizado por:
Aquino Prado Arantza

Cd. lázaro cárdenas, Michoacán. A 8 de diciembre del 2011
ÍNDICE
Unidad 5: Aplicaciones de la derivada

| Pagina |Introducción | 4 |
5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. | 5 |
5.2 Teorema de Rolle, Teorema de LaGrange o Teorema del valor Medio del cálculo diferencial. | 6 |
5.3 Función creciente y decreciente.5.3.1 Máximos y mínimos de una Función.5.3.2 Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.5.3.3 Concavidades y puntos de inflexión. 5.3.4Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos. | 9 |
5.4 Análisis de la variación de funciones. | 15 |
5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial | 17 |
5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas. | 18 |
Fuentes de información | 20 |

Introducción
Las primeras aplicaciones de la derivada fueron realizadas en las áreas de la geometría y de la mecánica. En laactualidad prácticamente no existe ninguna disciplina que no saque provecho de esta herramienta del cálculo diferencial.
En el presente trabajo de investigación se presentan solo algunas de las aplicaciones de la derivada, que explican algunas de las dificultades que se presentan al utilizar la derivada en disciplinas como la geometría y la cinemática.

5.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNACURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES.
Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Una normal a una curva es una recta que es perpendicular a la tangente de la curva.
La tangente y la normal en un mismo punto en cualquier superficie siempre son perpendiculares entre sí.
Diferentes soluciones sepueden utilizar para encontrar la ecuación de la tangente de cualquier curva y = gxen los puntos x1, y1. La pendiente de la tangente a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 está dada por g ‘(x1), es decir, el valor de la primera derivada de la función en x1, y1.
La ecuación requerida para esta tangente se puede encontrar en la ecuación de la recta y-y1 = m (x - x1). Así, la ecuación de latangente en x1, y1 se puede dar como y - y1 = g (x1) (x - x1).
Ahora bien, dado que respecto a la normal la tangente es perpendicular , su pendiente es el recíproco negativo de la pendiente de la tangente así como la pendiente de dos rectas perpendiculares son recíprocas negativas una de la otra. Por tanto, la pendiente de la normal a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 es −1/g’(x1), donde g’(x1) ≠0. Por lo tanto, la ecuación de la normal a la curva es dada como y – y1 = - (1/g’(x1)) (x – x1).
Si una recta tangente a la curva y = g(x) forma un ángulo Attach: c64.jpg con el eje x en una dirección positiva, entonces la pendiente de la tangente es igual a tanΘ. Por tanto, la ecuación de la tangente puede ser escrita también como y – y1 = tanΘ (x – x1).
El concepto de tangente y normalcontiene dos casos especiales:
1). Si la pendiente de la recta tangente es 0, entonces la recta tangente es paralela al eje x. En tales casos, la ecuación de la tangente en el punto x1, y1 es y = y1.
2). Si la tangente es perpendicular al eje x, entonces en ese caso, la pendiente tiende al infinito y la recta tangente es paralela al eje y. La ecuación se convierte entonces en x = x1.
Otro término...