Aplicaciones de la integral doble

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Lcda. Mercedes Alcalá
Sección: VII Mecánica
QUINTA GUIA
UNIDAD IV: INTEGRALES MULTIPLES. (Cont.)
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE AL CÁLCULO DE VOLÚMENES
Volumen
Así como se interpreta geométricamente la integral de una función de una variable en términos del área de una región plana, la integral doble puede interpretarse geométricamente entérminos del volumen de un sólido tridimensional. Suponga que la función f es continua en una región cerrada R.
Puede utilizarse una integral doble para calcular el volumen de una región sólida comprendida entre la superficie dada por z=fx,yy el plano.
Volumen de una región sólida
Si f es integrable sobre una región plana R y fx,y≥0 para todo x,y en R, el volumen de la región sólida acotadainteriormente por R y superiormente por la gráfica de f se define como
V=Rfx,ydA
Ejemplo 1: calcular el volumen de la región sólida R acotada por la superficie fx,y=e-x2 y los planos y=0, y=x, x=1
Solución: graficamos la función y resolvemos usando el orden de integración dydx

V=010xe-x2dydx=01ye-x2x0dx=01xe-x2dx=-12e-x210=-12e-1-e0=-121e-1=e-12e
Ejemplo 2: calcular el volumen de la región sólidalimitada por el paraboloide z=4-x2-2y2 y el plano xy.
Solución: la gráfica del paraboloide es

Si hacemos z=0 la base de la región en el plano xy es la elipse x2+2y2=4, como se indica en la figura que sigue

Esta región plana es horizontal y verticalmente simple, por lo que el orden de integración adecuado esdydx. Luego el volumen viene dado por
V=-22-4-x224-x224-x2-2y2dydx=-224y-x2y-2y334-x22-4-x22dx=-2244-x22+44-x22-x24-x22-x24-x22-234-x223-234-x223=-228-2x2-434-x24-x22dx=-2224-163+-6x2+4x234-x22dx=-228-2x234-x22dx
=232-224-x232dx=232-x82x2-5∙44-x2+3∙168sen-1x22-2=232-x34-x24+54-x22+6sen-1x22-2=2326sen-11-6sen-1-1=2326π2+6π2=6π+6π32=22π
Ejemplo 3: hallar el volumen de la región sólida R acotadasuperiormente por el paraboloide z=1-x2-y2 e inferiormente por el plano z=1-y.
Solución: graficamos la región R dada por el paraboloide y el plano:

Igualando los valores de z vemos que la intersección de las dos superficies se produce en el cilindro circular recto dado por 1-y=1-x2-y2, de donde x2=y-y2

El volumen de R es la diferencia entre el volumen bajo el paraboloide y el volumen bajoel plano
V=01-y-y2y-y21-x2-y2dxdy-01-y-y2y-y21-ydxdy=01-y-y2y-y2y-y2-x2dxdy=01y-y2x-x33-y-y2y-y2dy=01y-y232dy=4314011-2y-1232dy=13-2y-1822y-12-51-2y-12+38sen-12y-101=13∙38π2+π2==π8
Problemas propuestos:
1. Determínese el volumen del prisma cuya base es el triángulo del plano xy y acotado por el eje x y las rectas y=x y x=1, y cuya cara superior está en elplano z=fx,y=3-x-y.
2. Calcúlese AsenxxdA donde A es el triángulo del plano xy acotado por el eje x, la recta y=x y la recta x=1.
3. Un sólido está limitado por la superficie z=x2-y2, el plano xy, y los planos x=1 y x=3. Calcule su volumen por doble integración.
4. Usar una integral doble para determinar el volumen del sólido acotadopor la gráfica de ecuaciones x2+y2+z2=r2.
5. Usar una integral doble para determinar el volumen del sólido acotado por la gráfica de ecuaciones x2+z2=1 y y2+z2=1 en el primer octante.
6. Usar una integral doble para determinar el volumen del sólido acotado por la gráfica de ecuaciones x2+y2=4 y z=x+y en el primer octante.APLICACIONES FÍSICAS DE LA INTEGRAL DOBLE
Centros de masa y momentos de inercia
Con las integrales dobles se puede determinar el centro de masa de una lámina homogénea o no homogénea. Si la lámina correspondiente a la región R de la figura tiene densidad constante ρ, su masa viene dada por
Masa=m=δA=RδdA=δRdA...
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