Aplicación derivadas

APLICACIÓN DERIVADAS

1. MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN:
• f(x) es creciente en x=a si f’(a) es +
• f(x) es decreciente en x=a si f’(a) es • Si f’(a) = 0 entonces f(x) tiene un extremo relativo en x=a:
-Si f’’(a) es + en x=a hay un mr
- Si f’’(a) es - en x=a hay un Mr
- Si f’’(a) es = 0 en x=a puede haber un pto. de inflexión, el cual se debe comprobar.
f(x) tendrá un pto. de inflexión en x=a cuandofn’(a)=nº≠0
· Si su orden es impar = pto. de inflexión
· Si su orden es par ⟶ si es + mr / si es - Mr
Ej. f(x) = x4
f’(x) = 4x3 ; f’(0) = 0 → x=0 (cand Mr, mr, pto. inf.)
f’’(x) = 12x2 ; f’’(0) = 0f’’’(x) = 24x ; f’’’(0) = 0
f4’(x) = 24 → 4 = par →mr

2. CURVATURA DE UNA FUNCIÓN:
Es lo mismo que estudiar la concavidad y la convexidad
• Si f’’(x) en x=a ⟶ + ⟶ convexa
• Si f’’(x) en x=a ⟶ - ⟶ concava

3.REGLA DE HÔPITAL:
- Sirve para resolver límites mediante derivadas, límites que sin esta regla no se podrían resolver
por las técnicas comunes (via alternativa a los infinitésimos).


- Se utiliza enlos casos siguientes:
f(x) 0
∞
f(x) 0
∞
= o
/ lim
= o
x→a g(x)
x→∞ g(x)
0
∞
0
∞

lim

- Método hôpital:

0 ∞
f '(x)
=
⎯hôpital
⎯⎯
→ lim
x→a/∞
0 ∞
g'(x)
sin x 0
cos x
=
⎯hôp.
⎯→ lim
=1
x→0
x→0
x
0
1Ej. lim

(

)

- En casos como 00 o ∞0 ⟶ ln lim f(x) = lim ( ln f(x))
x→a

x→a

Ej. (tg x)x

lim ( tgx ) = 0 0
x

x→0

) ; ln ( lim ( tgx ) ) = lim x ln(tgx) ; ln ( lim ( tgx ) ) = 0 ⋅ ∞
(
) (
∞
; ln( lim ( tgx ) ) = lim
; ln ( lim ( tgx ) ) = ⎯⎯→ ; ln ( lim ( tgx ) ) =
x
∞
−x ⋅(1+ tg x) 0
−2(1+ tg x) − x (2tgx − (1+ tg x))
; ln ( lim ( tgx ) ) = lim
= ⎯⎯→ ; ln ( lim ( tgx ) ) = lim
tgx
0
1+ tgx

→ ln lim ( tgx ) = lim ln ( tgx )
x

x→0

x→0

x→0

)

x→0
x

hôp.

x→0

2

2

x

hôp.

x→0

1+tg 2 x
tgx
−1
x2

x→0

2

x→0

0
=0
1

x

x→0

x

x→0

x

(

x

x→0

ln tgx
1

x

=

x

x→0

x→0

2

22

→ ln lim ( tgx ) = 0 → lim ( tgx ) = 1
x

x→0

x

x→0

4. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
•
•
•
•
•
•
•

Dominio
Ptos. de corte con los ejes
Simetría
Periodicidad
Asíntotas
Extremos relativos...