Aplicaiones De Las Ecuaciones Diferenciales Estocasticas

Industrial Data
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
iifi@unmsm.edu.pe

ISSN (Versión impresa): 1560-9146
ISSN (Versión en línea): 1810-9993
PERÚ

2006
Eduardo Raffo Lecca / Miguel Mejía Puente
APLICACIONES COMPUTACIONALES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
ESTOCÁSTICAS
Industrial Data, año/vol. 9, número 001
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Lima, Perú
pp. 64-75

Red deRevistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal
Universidad Autónoma del Estado de México
http://redalyc.uaemex.mx

SISTEMAS E I NFORMÁTICA

Aplicaciones computacionales de las
ecuaciones diferenciales estocásticas
(1)

R e c e p c i ó n : Mayo d e 2 0 0 6 / A c e p t a c i ó n : Junio d e 2 0 0 6

Eduardo Raffo Lecca
Miguel Mejía Puente

(2)

1.INTRODUCCIÓNRESUMEN
Los mètodos numèricos son herramientas
efectivas para resolver los problemas de
ingenierìa o ciencias, que utilizan ecuaciones
diferenciales determinìsticas. Asì tenemos los
mètodos de Euler, Heun y los esquemas de
Runge-Kutta. Estos algorìtmos
desafortunadamente no trabajan con
ecuaciones diferenciales estocàsticas. La
aplicación central se refiere a la utilización del
cálculoestocástico en el campo financiero. El
modelo de Black-Scholes y Merton para la
opción del precio de los valores en mercados
financieros, viene expresado mediante el
movimiento browniano y las ecuaciones
diferenciales estocásticas, proponiendo la
valoración de los derivados financieros
mediante el cálculo estocástico.
Palabras Clave: Cálculo estocástico,
ecuaciones diferencialesestocásticas,
procesos estocásticos.
COMPUTATIONAL APPLICATION OF THE
STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

ABSTRACT
Numeric methods are effective tools to solve
science or engineering problems , which use
deterministic differential equations. We have
Euler’s and Heun’s methods and RungeKutta’s schemes. Unfortunately, these
algorithms don’t work with stochastic differential
equations. The mainapplication is referred to
the utilization of stochastic calculus in the
financial area. The Black-Scholes and Merton
model of the price values option in the financial
markets is expressed by the Brownian
movement and the stochastic differential
equation, proposing the financial derivatives
valorization by means of the stochastic calculus.
Key words: Stochastic calculus, stochasticdifferential equations, stochastic processes.

6 4 Ind. data 9(1), 2006

El descubrimiento independiente del cálculo por Newton y Leibnitz, en el
siglo XVIII, sentó las bases para el desarrollo de las matemáticas, ciencias y la ingeniería [1]. Uno de tales avances corresponde a la rama que
las matemáticas denominan ecuaciones diferenciales.
Muchos problemas de matemáticas aplicadas, usan ecuacionesdiferenciales ordinarias o ODE(Ordinary Differential Equation). En el caso más
simple, una función diferencial y = y ( x) donde x es una variable real, con
derivada y ' ( x) satisface a una ecuación de la forma y ' ( x) = f ( x, y ( x)) o
simplemente:
y´= f ( x, y )
(1.1)
que es una ODE. Existe un valor inicial o IVP (Initial Value problem) en la
solución y de (1.1) para los valores ( x0 ,y0 ), que satisfacen la condición
inicial de la forma:
y ( x0 ) = y 0
(1.2)
para un infinito números de funciones diferentes y, que son solución de
(1.1) [2].
Los ingenieros y científicos, frecuentemente hacen uso de las ecuaciones
diferenciales para modelar los efectos del cambio, movimiento y crecimiento. Por ejemplo, ecuaciones diferenciales que predicen la dinámica
poblacional, laestabilidad de la órbita en los satélites, o el movimiento de
recursos en un mercado financiero [3].
Los modelos más precisos y sofisticados, con efectos aleatorios o
estocásticos, vienen a ser más significativos. Siendo la aleatorización del
sistema, la parte de mayor interés en el modelo. La solución de tales
problemas, comprende una nueva área en matemáticas, denominada cálculo estocástico;...