Apuntes De Superficies
Páginas: 17 (4136 palabras)
Publicado: 24 de abril de 2011
TEMA : SUPERFICES
* Definición de superficie.
“Es el lugar geométrico de todos los puntos que se mueven en el espacio de tres dimensiones con dos grados de libertad de acuerdo con su ecuación”
F( x , y , z ) = 0
No todas las ecuaciones del tipo F( x , y , z ) = 0 representan a una superficie.
x2 + 2y2 + 5z2 = 0 Un punto P( 0 , 0 , 0 )
2x2 + 3y2 + 7z2 = - 4No es un lugar geométrico real
x2 + 4y2 + 2z2 = 16 Un elipsoide con centro en el origen
* Curvas directriz y generatriz.
“Curva directriz es aquella curva fija que nos define la dirección en que debe desplazarse otra curva, para generar a una superficie”
“Curva generatriz es aquella que se desplaza tocando siempre a la directriz, cambiando generalmente de tamaño y posición, y conello dando origen a una superficie”
En este cilindro, la generatriz es la circunferencia.
La directriz es la línea recta vertical.
Al desplazarse las circunferencias sobre la recta, se genera
un cilindro circular recto
En este cilindro, la generatriz es la línea recta vertical.
La directriz es la circunferencia.
Al desplazarse las rectassobre la circunferencia, se genera
un cilindro circular recto
Como puede verse en las dos ilustraciones anteriores, podemos elegir distintas maneras de generar a la misma superficie.
La diferencia estriba en lo sencillas ó complicadas que puedan llegar a ser las ecuaciones de la directriz y la generatriz.
* Clasificación de superficies.
No existe una clasificación universal desuperficies, pero podemos mencionar los siguientes tipos de superficies entre las más usuales:
a) Superficies Alabeadas: Aquellas que no pueden estar contenidas en un plano
b) Superficies Cilíndricas: Aquellas que tienen por directriz a una curva contenida en un plano, y
por generatrices rectas paralelas entre si.
Cilindro circular rectoCilindro parabólico oblicuo
Plano
c) Superficies Cónicas: Aquellas que tienen por directriz a una curva contenida en un plano, y
por generatrices rectas coincidentes en un punto llamado vértice.
Cono circular recto Cono hiperbólico recto
d) Superficies Regladas: Aquellas que se generan por medio de rectas.
Cilindro circular rectoCono circular recto Hiperboloide circular
de un manto
e) Superficies de revolución: Aquellas que se generan por el giro de una curva, llamada meridiana
alrededor de un eje de giro.
Eje de giro Eje de giro
Eje de giro
Cilindro circular recto Paraboloide circularHiperboloide circular
de un manto
f) Superficies Cuádricas ó cuadráticas: Aquellas que tienen por ecuación:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dxz + Ez2 + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Estas últimas se subdividen en
Esferas
Elipsoides
Hiperboloides de un manto Hiperboloides de dos mantos
Paraboloides circulares Paraboloides elípticosHipérbola horizontal
cóncava hacia derecha
e izquierda
Parábola vertical de
frente a la vista
Vértice ó centro cóncava hacia arriba
(también conocido
como punto silla) Parábola vertical de
costado a la vista
cóncava hacia abajo
Hipérbola horizontal
cóncava hacia
adelante yatrás
Paraboloides hiperbólicos
Y Degeneraciones de las anteriores.
* Ecuación vectorial de una superficie CILÍNDRICA
u = ( a , b ,c )
po = vector de posición de un punto
C sobre la curva...
* Definición de superficie.
“Es el lugar geométrico de todos los puntos que se mueven en el espacio de tres dimensiones con dos grados de libertad de acuerdo con su ecuación”
F( x , y , z ) = 0
No todas las ecuaciones del tipo F( x , y , z ) = 0 representan a una superficie.
x2 + 2y2 + 5z2 = 0 Un punto P( 0 , 0 , 0 )
2x2 + 3y2 + 7z2 = - 4No es un lugar geométrico real
x2 + 4y2 + 2z2 = 16 Un elipsoide con centro en el origen
* Curvas directriz y generatriz.
“Curva directriz es aquella curva fija que nos define la dirección en que debe desplazarse otra curva, para generar a una superficie”
“Curva generatriz es aquella que se desplaza tocando siempre a la directriz, cambiando generalmente de tamaño y posición, y conello dando origen a una superficie”
En este cilindro, la generatriz es la circunferencia.
La directriz es la línea recta vertical.
Al desplazarse las circunferencias sobre la recta, se genera
un cilindro circular recto
En este cilindro, la generatriz es la línea recta vertical.
La directriz es la circunferencia.
Al desplazarse las rectassobre la circunferencia, se genera
un cilindro circular recto
Como puede verse en las dos ilustraciones anteriores, podemos elegir distintas maneras de generar a la misma superficie.
La diferencia estriba en lo sencillas ó complicadas que puedan llegar a ser las ecuaciones de la directriz y la generatriz.
* Clasificación de superficies.
No existe una clasificación universal desuperficies, pero podemos mencionar los siguientes tipos de superficies entre las más usuales:
a) Superficies Alabeadas: Aquellas que no pueden estar contenidas en un plano
b) Superficies Cilíndricas: Aquellas que tienen por directriz a una curva contenida en un plano, y
por generatrices rectas paralelas entre si.
Cilindro circular rectoCilindro parabólico oblicuo
Plano
c) Superficies Cónicas: Aquellas que tienen por directriz a una curva contenida en un plano, y
por generatrices rectas coincidentes en un punto llamado vértice.
Cono circular recto Cono hiperbólico recto
d) Superficies Regladas: Aquellas que se generan por medio de rectas.
Cilindro circular rectoCono circular recto Hiperboloide circular
de un manto
e) Superficies de revolución: Aquellas que se generan por el giro de una curva, llamada meridiana
alrededor de un eje de giro.
Eje de giro Eje de giro
Eje de giro
Cilindro circular recto Paraboloide circularHiperboloide circular
de un manto
f) Superficies Cuádricas ó cuadráticas: Aquellas que tienen por ecuación:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dxz + Ez2 + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Estas últimas se subdividen en
Esferas
Elipsoides
Hiperboloides de un manto Hiperboloides de dos mantos
Paraboloides circulares Paraboloides elípticosHipérbola horizontal
cóncava hacia derecha
e izquierda
Parábola vertical de
frente a la vista
Vértice ó centro cóncava hacia arriba
(también conocido
como punto silla) Parábola vertical de
costado a la vista
cóncava hacia abajo
Hipérbola horizontal
cóncava hacia
adelante yatrás
Paraboloides hiperbólicos
Y Degeneraciones de las anteriores.
* Ecuación vectorial de una superficie CILÍNDRICA
u = ( a , b ,c )
po = vector de posición de un punto
C sobre la curva...
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