Area de una superficie

Área de una superficie
 
Al igual que cuando consideramos los problemas de hallar la longitud de curva y de encontrar el área de una superficie cuando esta es imagen de una función de doblevariable. Esta lección tiene como objetivo generalizar estos conceptos para áreas donde no necesariamente la superficie es una imagen de una función.
 
 En la lección anterior definimos losvectores tangentes y el vector normal a la superficie en un punto, también introducimos el concepto de superficie regular (aquella que no tiene “esquinas”).
 
En el resto de este capítuloconsideraremos sólo superficies regulares a trozos que sean unión de superficies parametrizadas Si :Di  R3, para las cuales:
 
      Di es una región elemental en el plano.
      Si es de clase C1 einyectiva, salvo quizá en la frontera de Di
      Si , la imagen de Si es regular, excepto quizá en un número finito de puntos.
 
 
Definición de: Área de una superficie parametrizada:    …(1) Si S es una unión de superficies Si, su área es la suma de las áreas de Si  |
 
Si recordamos en la lección anterior también definimos los jacobianos, entonces:
 

 
De modo que la fórmula(1) se convierte en (ver Figura 1) :
 

 
 

Figura 1
 es igual al área de un paralelogramos que aproxima
el área de un trozo de la superficie S = S(D)
 
Ejemplo:
 
Sea D la región 0  u 2 Pi  y  0  v  1  y sea:
 
S (u, v) = (v cos (u) , v sen (u) , u)
 
Hallar el área de la superficie:
 
> with(plots):
>plot3d([v*cos(u),v*sin(u),u],u=0..5,v=0..1,style=PATCHNOGRID);
 

 
Figura 2
 
Solución:
 
Calculemos sus jacobianos:
 

 
Esto es:
 
Para
 
 
 esto es:
 
> with(linalg):
>A:=linalg[matrix](2,2,[-v*sin(u),cos(u),v*cos(u),sin(u)]);

> det(A);

 
Para
 
 esto es:
 
> with(linalg):
> A:=linalg[matrix](2,2,[v*cos(u),sen(u),1,0]);

> det(A);

 
 
Para
 
 
esto es:
> with(linalg):
>...