Aritmetica elemental
Páginas: 20 (4854 palabras)
Publicado: 5 de diciembre de 2010
Tema 1. Aritm´tica elemental e
1.
El conjunto de los n´meros enteros u
El conjunto de los n´meros enteros, que representamos como Z, es el conjunto formado u por los n´meros 0, ±1, ±2, ±3, . . .. El conjunto Z goza de una serie de propiedades que u podemos dividir en aritm´ticas, a partir de las operaciones de suma (+) y producto (·), e y de orden, a partir de la relaci´n ≤. o Laspropiedades aritm´ticas son las siguientes e P1.- a + b y a · b son elementos de Z. P2.- ∀a, b ∈ Z, a + b = b + a y a · b = b · a. P3.- ∀a, b, c ∈ Z, (a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c). P4.- ∃ 0, 1 ∈ Z tal que ∀a ∈ Z, a + 0 = a, a · 1 = a. P5.- ∀a, b, c ∈ Z, a · (b + c) = a · b + a · c. P6.- ∀a ∈ Z ∃ − a ∈ Z unico tal que a + (−a) = 0. ´ P7.- Si a = 0 y a · b = a · c =⇒ b = c. A partirde las mismas pueden deducirse otras muchas propiedades que nos son familiares, como la siguiente: Ejemplo 1.- x · 0 = 0 para todo x ∈ Z. x · (0 + 0) = x · 0, por la propiedad P 4. x · 0 + x · 0 = x · 0, por la propiedad P 5. −x · 0 + (x · 0 + x · 0) = −x · 0 + x · 0 = 0, por las propiedades P 4 y P 6. (−x · 0 + x · 0) + x · 0 = 0 + x · 0 = x · 0 = 0, por las propiedades P 2, P 3, P 4 y P 6. Laspropiedades de orden son las siguientes P8.- a ≤ a para todo a ∈ Z. P9.- Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b. P10.- Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c. 1
P11.- Si a ≤ b, entonces a + x ≤ b + x para todo x ∈ Z. P12.- Si a ≤ b y 0 ≤ c, entonces a · c ≤ b · c. Como en el caso de las propiedades aritm´ticas, se pueden deducir otras muchas propiee dades conocidas. Ejemplo 2.- Si a ≤ b, entonces −b ≤ −a.a ≤ b =⇒ a + (−a − b) ≤ b + (−a − b), por la propiedad P 11. Aplicando las propiedades aritm´ticas P 2, P 3, P 4 y P 6 resulta −b ≤ −a. e Estas 12 propiedades no s´lo las verifican los n´meros enteros. Tambi´n se cumplen para o u e los n´meros racionales y reales. ¿Qu´ es, entonces, lo que diferencia a los n´meros enteros u e u del resto de n´meros? La diferencia radica en una propiedad que seconoce como principio u o axioma del buen orden. Antes de enunciarlo, un par de definiciones Definici´n 1 Sea X ⊂ Z un subconjunto de n´meros enteros. Decimos que b ∈ Z es una o u cota inferior de X si b ≤ x para todo x ∈ X. Entonces decimos que X es un conjunto acotado inferiormente. Algunos conjuntos no tienen cotas inferiores, como el conjunto de los enteros negativos (Z− ). Otros conjuntos, como{−18, −27, −26, −15, −5, 5, 15, 24, 19, 6, 98, −23, 0, 7} s´ tienen cotas inferiores. Por ejemplo −40 lo es. Sin embargo, vemos que −27 es la mejor ı cota inferior, ya que no se puede mejorar y, de hecho, pertenece al conjunto. Definici´n 2 Una cota inferior b de un conjunto X tal que b ∈ X recibe el nombre de o m´ ınimo de X. Ahora estamos en condiciones de enunciar la propiedad m´s importante, que esla que a distingue al conjunto de los n´meros enteros. u P13.- Principio del buen orden. Todo subconjunto no vac´ de Z acotado inferiormente ıo tiene m´ ınimo. Ejemplo 3.- El conjunto de n´meros racionales u no tiene m´ ınimo.
1 n
n ∈ N tiene cotas inferiores pero
En efecto, basta darse cuenta que 0 es la mejor cota inferior, pero no est´ en a el conjunto. Es decir, este conjunto no tienem´ ınimo. Esto nos proporciona una justificaci´n de la idea intuitiva de los n´meros enteros como un o u conjunto de puntos regularmente espaciados en una recta que se extiende infinitamente en ambas direcciones. En particular, nos dice que no podemos acercarnos a un entero m´s a y m´s sin llegar a ´l. El hecho de que haya huecos entre los enteros nos lleva a decir que a e Z es discreto y es estapropiedad la que da el nombre a la Matem´tica Discreta. a Lo relevante del principio del buen orden no es s´lo el hecho de que distingue el conjunto o Z de otros conjuntos de n´meros, sino que resulta de gran utilidad desde el punto de vista u matem´tico. Este principio es la base de distintas t´cnicas b´sicas, entre ellas la de la a e a demostraci´n por inducci´n. o o 2
2.
El principio...
1.
El conjunto de los n´meros enteros u
El conjunto de los n´meros enteros, que representamos como Z, es el conjunto formado u por los n´meros 0, ±1, ±2, ±3, . . .. El conjunto Z goza de una serie de propiedades que u podemos dividir en aritm´ticas, a partir de las operaciones de suma (+) y producto (·), e y de orden, a partir de la relaci´n ≤. o Laspropiedades aritm´ticas son las siguientes e P1.- a + b y a · b son elementos de Z. P2.- ∀a, b ∈ Z, a + b = b + a y a · b = b · a. P3.- ∀a, b, c ∈ Z, (a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c). P4.- ∃ 0, 1 ∈ Z tal que ∀a ∈ Z, a + 0 = a, a · 1 = a. P5.- ∀a, b, c ∈ Z, a · (b + c) = a · b + a · c. P6.- ∀a ∈ Z ∃ − a ∈ Z unico tal que a + (−a) = 0. ´ P7.- Si a = 0 y a · b = a · c =⇒ b = c. A partirde las mismas pueden deducirse otras muchas propiedades que nos son familiares, como la siguiente: Ejemplo 1.- x · 0 = 0 para todo x ∈ Z. x · (0 + 0) = x · 0, por la propiedad P 4. x · 0 + x · 0 = x · 0, por la propiedad P 5. −x · 0 + (x · 0 + x · 0) = −x · 0 + x · 0 = 0, por las propiedades P 4 y P 6. (−x · 0 + x · 0) + x · 0 = 0 + x · 0 = x · 0 = 0, por las propiedades P 2, P 3, P 4 y P 6. Laspropiedades de orden son las siguientes P8.- a ≤ a para todo a ∈ Z. P9.- Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b. P10.- Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c. 1
P11.- Si a ≤ b, entonces a + x ≤ b + x para todo x ∈ Z. P12.- Si a ≤ b y 0 ≤ c, entonces a · c ≤ b · c. Como en el caso de las propiedades aritm´ticas, se pueden deducir otras muchas propiee dades conocidas. Ejemplo 2.- Si a ≤ b, entonces −b ≤ −a.a ≤ b =⇒ a + (−a − b) ≤ b + (−a − b), por la propiedad P 11. Aplicando las propiedades aritm´ticas P 2, P 3, P 4 y P 6 resulta −b ≤ −a. e Estas 12 propiedades no s´lo las verifican los n´meros enteros. Tambi´n se cumplen para o u e los n´meros racionales y reales. ¿Qu´ es, entonces, lo que diferencia a los n´meros enteros u e u del resto de n´meros? La diferencia radica en una propiedad que seconoce como principio u o axioma del buen orden. Antes de enunciarlo, un par de definiciones Definici´n 1 Sea X ⊂ Z un subconjunto de n´meros enteros. Decimos que b ∈ Z es una o u cota inferior de X si b ≤ x para todo x ∈ X. Entonces decimos que X es un conjunto acotado inferiormente. Algunos conjuntos no tienen cotas inferiores, como el conjunto de los enteros negativos (Z− ). Otros conjuntos, como{−18, −27, −26, −15, −5, 5, 15, 24, 19, 6, 98, −23, 0, 7} s´ tienen cotas inferiores. Por ejemplo −40 lo es. Sin embargo, vemos que −27 es la mejor ı cota inferior, ya que no se puede mejorar y, de hecho, pertenece al conjunto. Definici´n 2 Una cota inferior b de un conjunto X tal que b ∈ X recibe el nombre de o m´ ınimo de X. Ahora estamos en condiciones de enunciar la propiedad m´s importante, que esla que a distingue al conjunto de los n´meros enteros. u P13.- Principio del buen orden. Todo subconjunto no vac´ de Z acotado inferiormente ıo tiene m´ ınimo. Ejemplo 3.- El conjunto de n´meros racionales u no tiene m´ ınimo.
1 n
n ∈ N tiene cotas inferiores pero
En efecto, basta darse cuenta que 0 es la mejor cota inferior, pero no est´ en a el conjunto. Es decir, este conjunto no tienem´ ınimo. Esto nos proporciona una justificaci´n de la idea intuitiva de los n´meros enteros como un o u conjunto de puntos regularmente espaciados en una recta que se extiende infinitamente en ambas direcciones. En particular, nos dice que no podemos acercarnos a un entero m´s a y m´s sin llegar a ´l. El hecho de que haya huecos entre los enteros nos lleva a decir que a e Z es discreto y es estapropiedad la que da el nombre a la Matem´tica Discreta. a Lo relevante del principio del buen orden no es s´lo el hecho de que distingue el conjunto o Z de otros conjuntos de n´meros, sino que resulta de gran utilidad desde el punto de vista u matem´tico. Este principio es la base de distintas t´cnicas b´sicas, entre ellas la de la a e a demostraci´n por inducci´n. o o 2
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El principio...
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