Axioma del supremo

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1.2.3. Conjuntos acotados en R. El axioma del supremo
Dado un subconjunto S de R y un número real a, si a # s para todo s & S se dice que a es una
cota inferior de S y que S está acotadoinferiormente (por a). Si b es otro número real y b $ s para
todo s & S, se dice que b es una cota superior de S y que S está acotado superiormente (por b). Si un
conjunto S está acotado superior einferiormente, se dice que está acotado.
Un número real m se dice que es el mínimo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una
cota inferior. Es decir, si m & S y m # s para todo s & S. Seescribe entonces m = m´ınS.
Un número real M se dice que es el máximo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una
cota superior. Es decir, si M & S y M $ s para todo s & S. En ese caso,se escribe M = m´axS.
Un número real a se dice que es el ínfimo de un conjunto S si es la mayor cota inferior del S. Es
decir, si a # s para todo s & S y cada a- > a no es cota inferior de S; demodo que se tendrá a- > s-
para algún s- & S. En ese caso, se escribe a =´ınfS.
Dicho de otra forma, el ínfimo de un conjunto es el máximo del conjunto de cotas inferiores del
primero. Nóteseque si a =´ınfS, será a = m´ınS si y solo si a & S.
Un número real b se dice que es el supremo de un conjunto S si es la menor cota superior del S.
Es decir, si b $ s para todo s & S y cada b- para algún s- & S. Se escribe b = supS.
Dicho de otra forma, el supremo de un conjunto es el mínimo del conjunto de cotas superiores delprimero. Nótese que si b = supS, será b = m´axS si y solo si a & S.
El axioma del supremo, o axioma de completitud de R, es la siguiente propiedad que caracteriza
la diferencia entre Q y R:
•Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente tiene supremo.
La propiedad simétrica (todo subconjunto no vacío de R acotado inferiormente tiene ínfimo) es consecuencia
de lo anterior.
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