Bezier

Tema 1: Introducci´n o
Leonardo Fern´ndez Jambrina a E.T.S.I. Navales, Universidad Polit´cnica de Madrid e Arco de la Victoria s/n E-28040-Madrid, Espa˜ a n Correo-e: leonardo.fernandez@upm.es

1.

Introducci´n o

El dise˜ o geom´trico asistido por ordenador tiene su origen esencialmente n e en la industria del autom´vil. El problema fundamental del que se ocupa o consiste en describir lasformas, curvas, superficies de un objeto (una pieza de una m´quina, el casco de un buque o de un avi´n. . . ) en forma matem´tica a o a sencilla, pero eficiente y precisa, que permita trasladar a las oficinas t´cnicas e las caracter´ ısticas del objeto para su manufactura. Inicialmente se empleaban en el dise˜ o curvas sencillas, como rectas, cirn cunferencias y elipses, junto con otras trazadasmanualmente por medio de junquillos (en ingl´s, spline). Estas t´cnicas han sido sustituidas paulatinae e mente por una descripci´n matem´tica en formatos universales como IGES, o a compatible con buena parte de las aplicaciones inform´ticas de dise˜ o. a n El comienzo del dise˜ o tal como lo conocemos hoy en d´ se puede situar n ıa en los trabajos de Paul de Casteljau para la empresa Citro¨n afinales de e los a˜ os cincuenta del siglo pasado. Debido a su car´cter secreto, no fueron n a conocidos hasta a˜ os despu´s, raz´n por la cual muchas de las construcciones n e o matem´ticas llevan el nombre de Pierre B´zier, empleado de la Renault, para a e la cual trabaj´ durante 42 a˜ os. o n La industria del autom´vil tambi´n ha proporcionado varios nombres proo e pios al dise˜ o asistido porordenador al otro lado del Atl´ntico, como S. n a a Coons, para Ford y Carl de Boor, para General Motors. En tiempos m´s recientes, es fundamental el trabajo de Gerald Farin, hoy profesor en Arizona, aunque en tiempos colaborara con Daimler-Benz. 1

Aunque el origen del dise˜ o geom´trico asistido por ordenador est´ funn e a damentalmente ligado a la industria automovil´ ıstica, su aplicaci´n alcanza ao todas las ramas de la ingenier´ cada una de ellas con sus especificidades, ıa, desde la industria textil hasta la aeron´utica y naval. a El dise˜ o geom´trico es una materia interdisciplinar, ya que, por una n e parte, sus aplicaciones industriales son patentes y, por otro, entender los procesos que acontecen detr´s de la pantalla del ordenador est´ claramente a a ligado a la inform´tica y a lageometr´ a ıa. Con estas notas no pretendemos organizar ning´ n curso de dise˜ o. Para u n ello bastar´ recurrir a los manuales de cualquier aplicaci´n inform´tica, desıa o a de AUTOCAD, MICROSTATION hasta las especializadas como RHINO3D, AEROHYDRO, MAXSURF. . . entre otras. Tampoco pretendemos que sean un curso de programaci´n, ya que supondr´ perder generalidad para concreo ıa tar el lenguajeque se quisiera emplear, C, Java. . . El prop´sito de estas notas es facilitar el acceso, tanto de matem´ticos, o a como de inform´ticos e ingenieros, a los algoritmos que subyacen en las aplia caciones de dise˜ o geom´trico asistido por ordenador, aunque sin compromen e ternos con ninguna de ellas. Como se podr´ ver, los conocimientos matem´ticos que se requieren para a a seguirlas son bastanteelementales, un poco de An´lisis Matem´tico, un poco a a ´ de Algebra Lineal y otro poco de Geometr´ Diferencial de curvas. ıa A modo de complemento, para facilitar la comprensi´n de la notaci´n y o o de los elementos del libro, incluimos en este tema una revisi´n de algunos o conceptos matem´ticos fundamentales. Este cap´ a ıtulo puede leerse independientemente antes de entrar en la materia dellibro o se puede recurrir a ´l e como notas de consulta cuando surja alguna dificultad en el resto de cap´ ıtulos. Por ejemplo, no ser´ preciso echar un vistazo al plano proyectivo hasta a que lleguemos al tema de curvas racionales. Esperando que nadie se asuste, comenzaremos revisando el plano af´ ın.

2.

El plano af´ ın

El plano af´ es una pareja formada por un conjunto, A2 , formado por...