Bloque III Teoria
Páginas: 7 (1722 palabras)
Publicado: 18 de octubre de 2015
Tema 6: Diagonalizaci´on de Matrices
´ Ingenier´
(Grado en Ingenier´
ıa El´
ectrica y Grado en
Algebra
Lineal
ıa Aeroespacial)
y Geometr´
ıa (2014/15)
afrai@unileon.es
127 / 225
Diagonalizaci´on de matrices
Definici´
on de matriz diagonal
Sea D una matriz cuadrada n × n con coeficientes
matriz diagonal si es de la forma:
λ1 0 . . .
0 λ2 . . .
D= .
..
..
..
.
.
0
0 ...
en R. Diremosque D es una
0
0
..
.
λn
´ Ingenier´
(Grado en Ingenier´
ıa El´
ectrica y Grado en
Algebra
Lineal
ıa Aeroespacial)
y Geometr´
ıa (2014/15)
afrai@unileon.es
128 / 225
Diagonalizaci´on de matrices
C´
alculo de potencias de una matriz
Problema: Calcular de las diferentes potencias de A, es decir
Ak = A· .k)
. . ·A
Si A es una matriz diagonal
entonces
A=
A =
kλ1
0
..
.
0
0
λ2
..
.
0
...
...
..
.
...
λk1
0
..
.
0
0
λk2
..
.
0
...
...
..
.
...
0
0
..
.
λn
0
0
..
.
λkn
Si A es una matriz cuadrada, el c´
alculo de Ak es en general muy dificultoso.
´ Ingenier´
(Grado en Ingenier´
ıa El´
ectrica y Grado en
Algebra
Lineal
ıa Aeroespacial)
y Geometr´
ıa (2014/15)
afrai@unileon.es
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Diagonalizaci´on de matrices
Definici´
onde matrices semejantes
Dadas dos matrices A y B, diremos que A y B son semejantes si existe una matriz P
tal que
A = P −1 BP
Equivalentemente, si f : V −→ V es una aplicaci´
on lineal, A representa la matriz de
f en la base B1 , B es la matriz de la aplicaci´
on lineal f en la base B2 y P la matriz
de cambio de base de B1 a B2 .
Definici´
on de matriz diagonalizable. Definici´on 5.1
Dada unamatriz cuadrada de orden n sobre R diremos que A es una matriz
diagonalizable cuando existe una matriz inversible P tal que
P −1 AP = D
donde D es una matriz diagonal. A y D son semejantes.
¿Qu´e quiere decir que
AP = P D
donde D es una matriz diagonal?
´ Ingenier´
(Grado en Ingenier´
ıa El´
ectrica y Grado en
Algebra
Lineal
ıa Aeroespacial)
y Geometr´
ıa (2014/15)
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130 / 225 Diagonalizaci´on de matrices
Ejemplo
Toda matriz D diagonal es diagonalizable.
Potencias de matrices diagonalizables
Si A es diagonalizable se tiene entonces
Ak = P Dk P −1
Determinantes de matrices diagonalizables. Proposici´on 5.4
Si A es diagonalizable entonces
det(A) = det(D) = λ1 · · · · · λn
´ Ingenier´
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ıa El´
ectrica y Grado en
Algebra
Lineal
ıa Aeroespacial)
y Geometr´
ıa(2014/15)
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Diagonalizaci´on de matrices
Definiciones. Definici´
on 5.2
Dada A una matriz cuadrada de orden n con coeficientes en R,
Llamaremos polinomio caracter´ıstico de A, al polinomio de grado n definido por
det(A − xIdn )
Diremos que λ es un autovalor o un valor propio de A si se verifica
det(A − λIdn ) = 0
o lo que es lo mismo, λ es ra´ız del polinomiocaracter´ıstico de A.
Llamaremos autovector o vector propio asociado a un autovalor λ a todo vector
v ∈ Rn con v = 0 tal que
(A − λIdn )v = 0
o lo que es lo mismo
Av = λv
Idea. Autovectores en t´erminos de Sistemas de ecuaciones lineales homog´eneos
Dada una matriz cuadrada A el conjunto de autovectores asociados a un autovalor λ
viene dado por las soluciones del sistema de ecuaciones lineales homog´eneodado por
(A − λId)x = 0
´ Ingenier´
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ıa El´
ectrica y Grado en
Algebra
Lineal
ıa Aeroespacial)
y Geometr´
ıa (2014/15)
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Diagonalizaci´on de matrices
Ejemplo
Consideremos
1
A= 0
0
entonces
3
5
6
2
4
0
Polinomio caracter´ıstico de A
P (x) = (1 − x)(4 − x)(6 − x)
Autovalores de A,
x = 1,
x = 4,
x=6
Autovectores
Asociados a 1, v1 = (1,0, 0)t
Asociados a 4, v2 = (2, 3, 0)t
Asociados a 6, v3 = (16, 25, 10)t
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Diagonalizaci´on de matrices
Ejemplo
Si definimos
1
P =
0
0
entonces
1
0
0
2
3
0
−1
16
1
25 A 0
10
0
2
3
0
2
3
0
16
25
10
16
1
25 = 0
10
0
0...
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Algebra
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Diagonalizaci´on de matrices
Definici´
on de matriz diagonal
Sea D una matriz cuadrada n × n con coeficientes
matriz diagonal si es de la forma:
λ1 0 . . .
0 λ2 . . .
D= .
..
..
..
.
.
0
0 ...
en R. Diremosque D es una
0
0
..
.
λn
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Diagonalizaci´on de matrices
C´
alculo de potencias de una matriz
Problema: Calcular de las diferentes potencias de A, es decir
Ak = A· .k)
. . ·A
Si A es una matriz diagonal
entonces
A=
A =
kλ1
0
..
.
0
0
λ2
..
.
0
...
...
..
.
...
λk1
0
..
.
0
0
λk2
..
.
0
...
...
..
.
...
0
0
..
.
λn
0
0
..
.
λkn
Si A es una matriz cuadrada, el c´
alculo de Ak es en general muy dificultoso.
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Diagonalizaci´on de matrices
Definici´
onde matrices semejantes
Dadas dos matrices A y B, diremos que A y B son semejantes si existe una matriz P
tal que
A = P −1 BP
Equivalentemente, si f : V −→ V es una aplicaci´
on lineal, A representa la matriz de
f en la base B1 , B es la matriz de la aplicaci´
on lineal f en la base B2 y P la matriz
de cambio de base de B1 a B2 .
Definici´
on de matriz diagonalizable. Definici´on 5.1
Dada unamatriz cuadrada de orden n sobre R diremos que A es una matriz
diagonalizable cuando existe una matriz inversible P tal que
P −1 AP = D
donde D es una matriz diagonal. A y D son semejantes.
¿Qu´e quiere decir que
AP = P D
donde D es una matriz diagonal?
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Ejemplo
Toda matriz D diagonal es diagonalizable.
Potencias de matrices diagonalizables
Si A es diagonalizable se tiene entonces
Ak = P Dk P −1
Determinantes de matrices diagonalizables. Proposici´on 5.4
Si A es diagonalizable entonces
det(A) = det(D) = λ1 · · · · · λn
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Lineal
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Diagonalizaci´on de matrices
Definiciones. Definici´
on 5.2
Dada A una matriz cuadrada de orden n con coeficientes en R,
Llamaremos polinomio caracter´ıstico de A, al polinomio de grado n definido por
det(A − xIdn )
Diremos que λ es un autovalor o un valor propio de A si se verifica
det(A − λIdn ) = 0
o lo que es lo mismo, λ es ra´ız del polinomiocaracter´ıstico de A.
Llamaremos autovector o vector propio asociado a un autovalor λ a todo vector
v ∈ Rn con v = 0 tal que
(A − λIdn )v = 0
o lo que es lo mismo
Av = λv
Idea. Autovectores en t´erminos de Sistemas de ecuaciones lineales homog´eneos
Dada una matriz cuadrada A el conjunto de autovectores asociados a un autovalor λ
viene dado por las soluciones del sistema de ecuaciones lineales homog´eneodado por
(A − λId)x = 0
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ectrica y Grado en
Algebra
Lineal
ıa Aeroespacial)
y Geometr´
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Diagonalizaci´on de matrices
Ejemplo
Consideremos
1
A= 0
0
entonces
3
5
6
2
4
0
Polinomio caracter´ıstico de A
P (x) = (1 − x)(4 − x)(6 − x)
Autovalores de A,
x = 1,
x = 4,
x=6
Autovectores
Asociados a 1, v1 = (1,0, 0)t
Asociados a 4, v2 = (2, 3, 0)t
Asociados a 6, v3 = (16, 25, 10)t
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Algebra
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Diagonalizaci´on de matrices
Ejemplo
Si definimos
1
P =
0
0
entonces
1
0
0
2
3
0
−1
16
1
25 A 0
10
0
2
3
0
2
3
0
16
25
10
16
1
25 = 0
10
0
0...
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