Bondad de ajuste

Curso de Econometría I Bondad de ajuste del modelo

Universidad de la Salle Bogotá, Bogotá semestre II 2008 II-2008

Curso de Econometría I Bondad de ajuste del modelo
Cuatro resultados útiles
e =0

ˆ Y =Y

∑ X i ei = 0

ˆ ∑Y e

i i

=0

Ahora se explicará las medidas de bondad de ajuste de la regresión. Es conveniente comenzar por demostrar tres resultados utiles. El primeroes que el valor medio de los residuales debe ser igual a cero cero.

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Curso de Econometría I Bondad de ajuste del modelo
Cuatro resultados útiles:
e =0
ˆ Y =Y

∑X e

i i

=0

ˆ ∑Y e

i i

=0

ˆ ei = Yi − Yi = Yi − b1 − b2 X i
Los residuales en cualquier observación están dados p la diferencia q por entre los valores reales y los valores estimados de Y para cada observación.Curso de Econometría I Bondad de ajuste del modelo
Cuatro resultados útiles
e =0 ˆ Y =Y

∑X e

i i

=0

ˆ ∑Y e

i i

=0

ˆ ei = Yi − Yi = Yi − b1 − b2 X i
Primero se sustituyen los valores estimados.

ˆ Yi = b1 + b2 X i

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Curso de Econometría I Bondad de ajuste del modelo
Cuatro resultados útiles
e =0

ˆ Y =Y

∑ X i ei = 0
i

ˆ ∑Y e

i i

=0

ˆ ei = Yi− Yi = Yi − b1 − b2 X i

∑ e = ∑Y
i

− nb1 − b2 ∑ X i

Ahora sumamos todas las observaciones.

Curso de Econometría I Bondad de ajuste del modelo
Cuatro resultados útiles e =0
ˆ Y =Y

∑X e
i

i i

=0

ˆ ∑Y e

i i

=0

ˆ ei = Yi − Yi = Yi − b1 − b2 X i

∑ e = ∑Y
i

− nb1 − b2 ∑ X i

1 1 1 ei = ∑ Yi − b1 − b2 ∑ X i ∑ n n n

e = Y − b1 − b2 X = Y − (Y − b2 X ) −b2 X = 0
Dividiendo por n obtenemos la media muestral de los residuales in terminos de la media muestral de X e Y , y delos coeficientes de regresión.

Curso de Econometría I Bondad de ajuste del modelo
Cuatro resultados útiles e =0
ˆ Y =Y

∑X e
i

i i

=0

ˆ ∑Y e

i i

=0

ˆ ei = Yi − Yi = Yi − b1 − b2 X i

∑ e = ∑Y
i

− nb1 − b2 ∑ X i

1 1 1 ei = ∑ Yi − b1 − b2 ∑ X i ∑n n n

e = Y − b1 − b2 X = Y − (Y − b2 X ) − b2 X = 0
Si sustituimos para b1, la expresión colapsa a cero.

b1 = Y − b2 X

Curso de Econometría I Bondad de ajuste del modelo
Cuatro resultados útiles: e =0 ˆ Y =Y

∑X e

i i

=0

ˆ ∑Y e

i i

=0

Ahora se demostrará que la media del valor de estimado de Y es igual a la media del valor real de Y.
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Curso de Econometría IBondad de ajuste del modelo
Cuatro resultados útiles:
e =0 ˆ Y =Y

∑X e

i i

=0

ˆ ∑Y e

i i

=0

ˆ ei = Yi − Yi

Se comienza con la definición del residual

Curso de Econometría I Bondad de ajuste del modelo
Cuatro resultados útiles
e =0 ˆ Y =Y

∑X e

i i

=0

ˆ ∑Y e

i i

=0

ˆ ei = Yi − Yi

ˆ ∑ e = ∑Y − ∑Y
i i

i

Sumando todas las observacionesCurso de Econometría I Bondad de ajuste del modelo
Cuatro resultados útiles e =0
ˆ Y =Y

∑X e

i i

=0

ˆ ∑Y e

i i

=0

ˆ ei = Yi − Yi

ˆ ∑ e = ∑Y − ∑Y
i i

i

1 1 1 ˆ ∑ ei = n ∑ Yi − n ∑ Yi n

ˆ e = Y −Y
Dividiendo por n. Los términos en la ecuaciòn son las medias de los residuales, los valores reales y estimados de Y respectivamente.

Curso de Econometría I Bondadde ajuste del modelo
Cuatro resultados útiles e =0
ˆ Y =Y

∑X e
ˆ ei = Yi − Yi

i i

=0

ˆ ∑Y e

i i

=0

ˆ ∑ e = ∑Y − ∑Y
i i

i

1 1 1 ˆ ∑ ei = n ∑ Yi − n ∑ Yi n

ˆ e = Y −Y

ˆ Y =Y

Se ha demostrado que la media de los residuales es cero. De aquí, la media de los valores estimados es igual a la media de los valores reales.

Curso de Econometría I Bondad de ajustedel modelo
Cuatro resultados útiles e =0 ˆ Y =Y

∑X e

i i

=0

ˆ ∑Y e

i i

=0

Se demostrará que la suma de los productos de los valores de X y los residuales es cero.

Curso de Econometría I Bondad de ajuste del modelo
Cuatro resultados útiles
e =0 ˆ Y =Y

∑X e
i i 1 2

i i

=0

ˆ ∑Y e

i i

=0

∑ X e = ∑ X (Y − b − b X ) = ∑X Y −b ∑X −b ∑X
i i i i i 1 i 2...