Boole

L´gica Algebraica Abstracta o

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Renato Lewin Pontificia Universidad Cat´lica de Chile o

0 Introducci´n o
Los cursos universitarios de matem´tica suelen comenzar con una unidad de a L´gica, habitualmente dentro de un curso denominado Introducci´n al Algeo o bra o algo similar. En esta unidad se estudia una suerte de traducci´n entre o el castellano y un idioma, que algunos llamanlenguaje matem´tico, que cona tiene s´ ımbolos como ¬, ∨, ∧, → u otros. Enseguida se introduce las llamadas tablas de verdad, se aprende a manipularlas, se define conceptos como tautolog´a y contradicci´n, con suerte se explica los conceptos de consecuencia ı o l´gica o de consistencia. Luego se hace un desarrollo, que podr´ o ıamos llamar axiom´tico, en el que a partir de unas pocas tautolog´ y unasreglas que a ıas nos permiten reemplazar ciertos pedazos de una oraci´n por otras expresiones o que son equivalentes, podemos pasar de unas tautolog´ a otras. Todo lo ıas anterior se llama L´gica Proposicional. Por ultimo, se ampl´ el idioma y o ´ ıa se introducen variables, predicados, cuantificadores, etc., se extiende la traducci´n a estos y se hace algunas manipulaciones parecidas a lasanteriores. o A esto se llama l´gica de predicados o l´gica de primer orden. Esto como o pleta la unidad. La verdad es que salvo por el uso de los s´ ımbolos como una suerte de taquigraf´ que nos permite ahorrar unas pocas palabras, rara vez ıa se establece una conecci´n entre esta “l´gica” y el resto de las materias. o o
Estas Notas han sido preparadas para un curso dictado en la Universidad Nacional deColombia en diciembre de 2003. Ellas son una versi´n corregida de cursos similares o dictados en la Universidad Nacional de La Plata, Rep´blica Argentina, en noviembre de u 1999, con el patrocinio de FOMEC, y en las XIV Jornadas de Matem´tica de la Zona Sur, a Lican Ray, Chile, en abril de 2000.
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Con todo, las personas m´s atentas no pueden dejar de percibir ciertas anaa log´ entreesta manipulaci´n simb´lica y las operaciones aritm´ticas. Por ıas o o e ejemplo, reemplazando los s´ ımbolos adecuadamente, vemos que p∧q ↔ q∧p A∩B = B∩A x · y = y · x, o p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) x · (y + z) = (x · y) + (x · z) , son instancias de reglas muy similares, las que bien podemos llamar conmutatividad y distributividad, respectivamente. Porsupuesto, haciendo el mismo reemplazo, hay otras propiedades que no se cumplen, por ejemplo, mientras p ∨ p ↔ p es una tautolog´ la identidad ıa, asociada con ella, a saber, x + x = x se cumple s´lo si x = 0. o Podemos as´ pensar que esta relaci´n entre oraciones tautol´gicamente equiı o o valentes e identidades aritm´ticas genera un ´lgebra diferente, que comparte e a algunas propiedades con aquella delos n´meros enteros, pero que difiere en u otras. ¿Qu´ estructura tiene esta ´lgebra? ¿Se le puede asociar una clase de e a ´lgebras abstractas similar a los anillos, grupos, etc.? Estas son algunas de a las motivaciones iniciales de la l´gica algebraica. o Existe una retroalimentaci´n entre la l´gica y la matem´tica. Aunque lamentao o a blemente nuestro curso introductorio de ´lgebra no lo pusode manifiesto, a cuando demostramos un teorema estamos usando esas mismas reglas l´gicas o que aprendimos fuera de contexto. Por su parte, las analog´ se˜aladas ıas n antes nos inducen a pensar que hay m´todos matem´ticos que pueden ser e a aplicados a la l´gica. o Antes de proseguir y dado que lo que aprendimos, si no err´neo, es muy o insuficiente, debemos ponernos de acuerdo en un punto. ¿Qu´ esla l´gica? e o

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0.1

L´gica o

Cuando deseamos establecer una verdad, cuando queremos convencer a alguien de que nuestra posici´n o ideas son las correctas, recurrimos a un o razonamiento o bien presentamos evidencia que respalda nuestras opiniones. Este razonamiento o evidencia presentada con el prop´sito de demostrar algo o es un argumento. Un argumento es un conjunto de una o m´s...