Cálculo diferencial: derivadas

CÁLCULO DIFERENCIAL

DERIVADAS

LA DERIVADA.

Definición.
Cuando estudiamos la gráfica de una función, deseamos saber la medida precisa de la inclinación de la recta en un punto. En la fórmula general de la recta y = ax + b, el número (a) representa la pendiente. Si (a) es grande y positiva, la recta es muy inclinada hacia arriba, de izquierda a derecha; si (a) es grande y negativa, larecta está muy inclinada hacia abajo, de izquierda a derecha. Pero ¿cuál es la inclinación de la gráfica de una función (() cualquiera? Una respuesta natural es definir la inclinación de una curva en un punto, como la pendiente de la tangente a la curva en ese punto (esto es, la pendiente de la recta que más se ajusta a la curva en ese punto(.
y

L
((a) + 2
((a) P

a a + 4 x

Figura3.1

En la Figura 3.1, el punto (P) tiene coordenadas (a, ((a)). La pendiente de la tangente a la curva en el punto (P) se llama la derivada de (() en el punto (a) y se designa por (´(a), (se lee (´ de a).

En general se tiene:

(´(a) = la pendiente de la tangente a la curva y = ((x), en el punto (a, ((a)).

De la figura 3.1, se puede observar que:

(´(a) = (((a) + 2) - ((a) = ((a) + 2 -((a) = 2 = 1
(a + 4) - a a + 4 - a 4 2

La derivada (´(a) de una función ((), es una función que mide la pendiente y la razón de cambio instantáneo de la función original ((a) en un punto dado.

NOTACIÓN.

El proceso de hallar una derivada se llama diferenciación o derivación. Es práctico pensar que esto es una operación que transforma una función (() en otra ((´). La función ((´) estáentonces definida para los valores de (x) para los que existe el límite. Si se usa (y) para designar el valor de y = ((x), la derivada se designa por (y´). No son estas las únicas notaciones para la derivada, sino que a menudo en matemáticas y sus aplicaciones se usan otras. Una de ellas es la notación diferencial (debido a Leibniz), las cuales son:

dy/dx, ó d((x)/dx ó d((x); en lugar de (´(x).dx
El símbolo dy/dx significa (´(x) y no se considera (dy) dividido por (dx). en efecto d/dx designa la orden de derivar lo que sigue, con respecto a (x).

LA DERIVADA COMO UNA RELACIÓN DE INCREMENTOS.

A diferencia de la pendiente de una función lineal que es igual en todos los puntos de la recta. La pendiente de una curva difiere en distintos puntos de la línea. Geométricamente, lapendiente de una curva, en un punto dado, se mide por la pendiente de una línea trazada tangente a la función en ese punto. Para medir la pendiente de una curva en diferentes puntos, se necesitan líneas tangentes separadas. En geometría una línea tangente a una curva es una recta que toca la curva en un sólo punto.

y

x

Figura 3.2

Una fórmula algebraica para la pendiente de una tangente sepuede derivar de la pendiente de una línea secante. Una secante (S) es una línea que intersecta a la curva de una función en dos puntos, como se puede ver en la Figura 3.3.

S = y2 - y1
x2 - x1

y
Línea tangente (T)

Línea secante (S)

y2 = ((x + ∆x)

∆y

y1

x
x1 ∆x x2 = (x1 + ∆x)

Figura 3.3

Haciendo x2 = x1 + ∆x e y2 = ((x + ∆x), la pendiente de la secantetambién se puede expresar mediante un cociente de diferencias:

Pendiente S = ((x + ∆x) - ((x1) = ((x + ∆x) - ((x1)
(x1 + ∆x) - x1 ∆x

Si la distancia entre (x2) y (x1) se hace cada vez menor, es decir, si x ( 0, la línea secante se acerca cada vez más a la tangente. Si la pendiente de la secante se acerca a un límite como ∆x ( 0, el límite es la pendiente de la tangente (T ), y por lo tanto, lapendiente de la función misma en el punto y se expresa:

Pendiente T = lím ((x + ∆x) - ((x1)
∆x ( 0 ∆x

Nota: En la unidad de límites se usó (h) en lugar de ∆x:

Pendiente T = lím ((a + h) - ((a)
h ( 0 h

La derivada como tasa de variación.
Hemos interpretado la derivada de una función como la pendiente de la tangente a una curva en el punto de que se trate. En economía hay otras...