Cálculo estocastico

                 UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO                        DIVISIÓN DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS 

  MODELOS DE CÁLCULO ESTOCÁSTICO PARA EL  MOVIMIENTO BROWNIANO RELATIVISTA 
    T   E   S   I   S    QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE  LICENCIADO EN MATEMÁTICAS    P   R   E   S   E   N   T   A   

JOSÉ ULISES MÁRQUEZ URBINA   
DIRECTOR DE TESIS Dr. VÍCTOR MANUEL PÉREZ‐ABREU CARRIÓN      GUANAJUATO, GTO. AGOSTO DE 2010 
     

        Tesis presentada el día 20 de agosto de 2010.    Sinodales    Dr. Daniel Hernández Hernández  Dr. Alfredo Sandoval Villalbazo  Dr. Víctor Manuel Pérez‐Abreu Carrión       

 
                 

 

   
A mis padres y mi hermana...

Índice general
1. Introducción General 2. Preliminares de Cálculo Estocástico 7 15

2.1. Procesos deWiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Cálculo estocástico de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1. Procesos estocásticos no-anticipantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2. De…nición de la integral de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3. Las diferenciales estocásticas y lafórmula de Itô . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.4. Ecuaciones diferenciales estocásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.5. Ecuaciones diferenciales estocásticas y los procesos de difusión . . . . . . 30 2.2.6. Cambio de tiempo aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. La integral de Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 2.4. La integral Backward-Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3. El Movimiento Browniano No-Relativista 41

3.1. Ecuaciones de Langevin y Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.1. La ecuación de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.2. La ecuación de Langevin y las integrales estocásticas . . . .. . . . . . . . 43 3.1.3. La ecuación de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.4. Teorema de ‡ uctuación-disipación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.5. El proceso de Ornstein-Uhlenbeck no-relativista . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2. Modelos microscópicos: el modelo de colisión binaria . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1. El modelo decolisión binaria elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1

4. El Movimiento Browniano Relativista en el Espacio Fase

63

4.1. Ecuaciones de Langevin y Fokker-Planck relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.1.1. La ecuación de Langevin relativista: principios generales de construcción . 64 4.1.2. Las ecuaciones de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 70 4.2. Movimientos libres en un baño isotrópico y las relaciones de Einstein . . . . . . . 74 5. Ejemplos Unidimensionales y el Desplazamiento Cuadrático Medio 79

5.1. Consideraciones generales y las ecuaciones de la energía y la velocidad . . . . . . 79 5.2. Desplazamiento cuadrático medio asintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3.1. Amplitud constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3.2. Coe…ciente de fricción constante en la ecuación de Langevin-backward . . 90 5.3.3. Coe…ciente de fricción constante en la ecuación de Langevin-Itô . . . . . . 94 6. Reparametrizaciones de la Ecuación de Langevin 99

6.1. Reparametrización entérminos del tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2. Observadores en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.2.1. Transformación de Lorentz de la densidad de transición en el espacio fase 106 6.2.2. Transformación de Lorentz de la ecuación de Langevin . . . . . . . . . . . 106 7. El Modelo de Colisión Binaria Relativista 115

7.1....