Calculo diferencial. ensayo de series

Ensayo Calculo Diferencial

Definición de serie

Una serie es un conjunto de cosas que tienen una relación entre sí y que se suceden unas a otras.
Una serie matemática es la expresión de la suma de los infinitos términos de una sucesión.
Una serie de datos, por otra parte, es un conjunto de resultados observados en una cierta secuencia temporal.
En matemáticas, una serie es lageneralización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita.

Ejemplo:
La siguiente es una serie de números de “1” hasta “n” donde “n” es infinidad de números siguientes:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…………n.
También se consideran series a las sumatorias, ya que siguen una sucesión de números específicos:

Serie finita

En matemáticas, una serie es la suma de los términos deuna sucesión. Se representa una serie con términos donde n es el índice final de la serie.

Es decir, una serie finita tiene definido el valor final de toda la serie, en donde se puede definir que “n” es el último valor de esta.

Ejemplo:
En la siguiente ecuación el “10” es el final de la serie,” i” es la variable y “5(i)” es la fórmula para la serie a seguir:
i=0105i=50+51+52+53…….510=49320500Series infinitas

Los términos infinitos tratan de series que no tienen un fin específico, es decir q en estas series “n” llega a ser cualquier valor.
Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas.Ejemplo:
La siguiente es una serie de la cual no se sabe el final de esta, pero hay distintos métodos para conseguir un resultado y para esto se hacen ecuaciones de divergencia y convergencia:

n=1∞n2
SERIE NUMERICA Y CONVENGENCIA

Una serie numérica es una suma de infinitos términos. Si estos infinitos términos suman un numero real es convergente y si suman infinito es divergente (Esdivergente si la serie oscila).
Una serie (sucesión de sumas parciales) es convergente si su límite es finito y diverge si su suma es infinita u oscila entre algunos valores.
A ver una serie es esto:

__
\
/__{an}
n=0

donde {an} es una sucesión de números reales ( o sea una función que a cada natural le asocia un real, la cual se suele llamar término general de la serie).
El primer término dela serie es S0=a0 el segundo es 
S1=a0+a1=S0 +a1
luego
S2=a0+a1+a2=S1+a2
S3=a0+a1+a2+a3=S2+a3
S4=a0+a1+a2+a3+a4=S3+a4………….. Y así sucesivamente.
Sj=a0+a1+a2+......+aj=S (j-1) +aj

Si esto que no es más que una sucesión tiene suma finita, o sea el límite de Sn cuando n tiende a infinito es finito, se dice que la serie es convergente. Si no la serie es divergente.


Criterio deD'Alembert (Criterio de la razón)
Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos).
Si existe

Con, el Criterio de D'Alembert establece que: Si L < 1, la serie converge.
Si L > 1, entonces la serie diverge.
Si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)
Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Ysupongamos que existe
, siendo 
Entonces, si:
* L < 1, la serie es convergente.
* L > 1 entonces la serie es divergente.
* L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

Serie de potencias
Definición
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Unaserie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes  son los términos de una sucesion.
Ejemplos
* La serie geométrica  es una serie de potencias absolutamente convergente si  y divergente si  ó 
* La serie de potencias  es absolutamente convergente para todo 
* La serie de potencias  solamente converge para 

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