Calculo Diferencial E Integral

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL


CONCEPTOS BÁSICOS

CONTINUIDAD


Una Función Real de Variable Real con regla de correspondencia y=f(x) es continua en el punto de abscisa “a” (x-a) si y solo si cumple con las 3 condiciones siguientes:


1.- f(a) Exista
2.-Lim f(x) Exista


3.-f(a) sea igual a Lim f(x) ( f(a) = Lim f(x)


TIPOS DE DISCONTINUIDAD:

DISCONTINUIDADEVITABLE DISCONTINUIDAD INFINITA

















DISCONTINUIDAD DE SALTO

Ejem:
Analizar la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado y trazar la gráfica:

(La función es continua

(Es discontinua. Es un tipo infinita





PUNTOS DE DISCONTINUIDAD.- Una función racional de la forma p/q donde p Λ q son polinomios en discontinua en los puntos obtenidosal resolver la ecuación: “Q=0”

Ejemplo:

Obtener los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones :


(La función es discontinua x=2(La función es discontinua en: x=14 x=1



DERIVADA DE UNA FUNCION


En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. (El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptosestán relacionados por el teorema fundamental del cálculo.)

La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la función cambia cuando la entrada de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio.

La derivada es un concepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos. Porejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite de una secante. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones notienen derivada, en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical o una discontinuidad.


Las funciones que son diferenciables (derivables si hablamos en una sola variable), la función es aproximable linealmente


INCREMENTO DE UNA VARIABLE.- Si a la variable independiente “x” se le asigna un valor inicial“a” y un valor final “b”, el incremento de la variable que se denota “Δx” se define:


Δx=b-a ( b=a+ Δx

Ejem:
Calcule el incremento de la variable cuando esta varia de –3 a 5
a=-3 Δx=5-(-3)
b=5 Δx=8

INCREMENTO DE UNA FUNCION. Si a la variable “x” se le asignaran los valores inicial y final de “a” y “b” respectivamente, entonces la función adquiere losvalores “f(a)” Λ “f(b)”, y el incremento de la función que se denota:

Δf(x) =f(b)-f(a)
=f(a+Δx)-f(a)

En forma general si a=x
Δf(x)=f(x+Δx)-F(x)
Grafica:

Ejem:
Obtener el incremento de la función





DERIVADA DE UNA FUNCION.- Se define como el limite del incremento de la función entre el incremento de la variable cuando este tiende a cero.NOTACION: La derivada de una función con regla de correspondencia y=f(x) se denota de la siguiente manera:

Derivada de “y” con respecto a “x”.


Derivada de ”f(x)” con respecto a “x”.


Derivada de “y” con respecto a “x”.


INTERPRETACION GEOMETRICA.- Dada una función real de variable real con regla de correspondencia y=f(x) y su grafica.Si por los P Λ Q se traza una recta secante, su pendiente es:

Si Δx → 0 y obtenemos el límite:

( la recta secante se transforma en RECTA TANGENTE, cuya pendiente


Ejem:
Obtener la derivada de las siguientes funciones




REGLAS Y TIPOS DE DERIVACIÓN


La diferenciación directa de una función por medio de la definición de la derivada, puede ser un proceso...