Calculo diferencial

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Función: Es un conjunto de parejas ordenadas ( x , y ); en donde todos los valores posibles de “ x “ se llama dominio de la función y todos los valores posibles de “ y “ se llama rango de la función.
Símbolo de función y = f ( x )
Se lee: “ y igual a f de x “
“ x “ es variable independiente.
“ y “ es variable dependiente.
Ejemplo:
Y = f ( x ) = x 2 - 2 xEncontrar Dominio de la función
Encontrar Rango de la función
x | -2 -1 0 1 2 3 |
y | 8 3 0 -1 0 3 |
y = ( -2 ) 2 -2 ( -2 ) = 4 + 4 = 8
y = ( -1 ) 2 - 2 ( -1 ) = 3
y = ( 0 ) 2 - 2 ( 0 ) = 0 - 0 = 0
y = ( 1 ) 2 - 2 ( 1 ) = 1 - 2 = -1
y = ( 2 ) 2 - 2 ( 2 ) = 0
y = ( 3 ) 2 - 2 ( 3 ) = 9 - 6 = 3
Df = ( - " , " )
Rf = [ -1 , " )
Operaciones con funciones
Dado y = f ( x ) = x 2 - 2 x - 3encontrar:
 y = f ( -2 ) = ( -2 ) 2 -2 ( -2 ) -3 = 4 + 4 - 3 = 5
 y = f ( 3 ) = ( 3 ) 2 -2 ( 3 ) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0
f ( -1 ) (-1) 2 - 2 ( -1 )-3 1 + 2 - 3 0
 y = f ( 1 ) - f ( 2 ) = [ ( 1 ) 2 - 2 ( 1 ) - 3 ] [ ( -2 ) 2 - 2 ( -2 ) - 3 ] = [1-2-3]
[ 4 + 4 - 3 ] = [ -4 ] [ 5 ] = 20
 y = f ( x + h ) = ( x + h ) 2 - 2 ( x + h ) - 3 = x 2 + 2 x h + h 2 - 2 x - 2h -3
 y = f ( x + h ) = f( x ) = x 2 + 2 x h + h 2 - 2 x - 3 - ( x 2 - 2 x - 3 )
= 2 x h + h 2 - 2 h
 y = f ( x + h ) - f ( x ) = 2 x h + h 2 - 2 h = 2 x + h - 2
h h
LIMITES
 Lim. 3 x 2 - 2 x = 3 ( 3 ) 2 - 2 ( 3 ) = 2 ( 9 ) - 6 = 27 - 6 = 21
x ! 3
" lim 3 x 2 - 2 x = 21
x ! 3
 Lim x - 4 = 4 - 4 = 0 = 0 x ! 4
2x 2( 4 ) 8
 Lim 3 x = 3 ( 1 ) = 3 = "
x ! 1 x - 1 1 - 1 0
 Lim x 2 - 4 = ( 2 ) 2 - 4 =4 - 4 = 0 = 0
x ! -2 x 2 + 5 x + 6 ( - 2 ) 2 + 5 ( -2 ) + 6 4 - 10 -+ 6 -6 - 6
indeterminación
por lo tanto se factoriza
Lim ( x + 2 ) ( x - 2 ) = lim x - 2 = - 2 -2_ = -4 =
x ! -2 ( x + 3 ) ( x + 2 ) x !-2 x + 3 -2 + 3 1
 Lim " x + 1 - 3 = " 8 + 1 - 3 = 0 indeterminación
x ! 8 x - 8 8 - 8 0
Multiplicar por su conjugado.
Lim " x - 1 - 3 * " x + 1 + 3 = lim ( " x + 1 ) 2 - ( 3 ) 2
x!8 x - 8 " x + 1 + 3 x ! 8 ( x + 8 ) ( " x + 1 +3 )
= lim x + 1 - 9_______ = lim x - 8________ = lim 1___
x ! 8 ( x - 8 ) ( " x + 1 + 3 ) x ! 8 ( x - 8 ) ( " x + 1 +3 ) x ! 8 "x +1+3
= 1____ = 1__ = 1_
" 8 + 1 + 3 3 + 3 6
 Lim x 3 - 2 x 2 + 5 x = lim x 3 - 2 x 2 + 5 x
x ! " x + 3 x 2 + 4 x 3 x ! "__ x 3____________ =
x + 3 x 2 + 4 x 3
x 3
1 - 2 + 5_
= lim x x 2___ = lim 1 =
x ! " 1 +3 + 4 x ! " 4
x 2 x
DERIVADA
La “derivada” es la pendiente tangente a una curva dada.

Matemáticamente.
Símbolo de la derivada.
y´ = D x y = lim f ( x + " x ) - f ( x )
"x ! 0 " x
Ejemplo:
Derivar mediante de la definición
y = f ( x ) = x 2
D x y = lim ( x + " x ) 2 - x 2
" x ! 0 " x
D x y = lim x 2 + 2 x " x + D x 2 - x 2 = lim 2 x " x + " x 2
" x ! 0 " x " x ! 0 " x
= lim2 x + " x =
" x ! 0
FORMULAS DE DERIVADAS
 D x c = 0
 D x x = 1
 D x x n = n x n - 1
 D x ( u ± v ± w ) = D x v ± D x v ± D x w
 D x ( u * v ) = u D x v + v D x u
 D x u/v = v D x u - u D x v
v 2
 D x u n = n u n - 1 D x u
Ejemplos:
Derivar:
 y = x 3 - 2 x + 5 " y 1 = 3 x 2 - 2
 y = x 2 - 36 " y´ = ( x + 6 ) ( 2 x ) - ( x 2 - 36 ) ( 1 )
x + 6 ( x + 6 ) 2
y´= 2 x 2 + 12 x + - x 2 + 36 = x 2 + 12 x + 36 = ( x + 6 ) 2 = 1
( x + 6 ) 2 ( x + 6 ) 2 ( x + 6 ) 2
 y= " x 2 + 2 x " y´ ½ ( x 2 + 2 x ) ½ - 1 ( 2 x + 2 )
= ½ ( x 2 + 2 x ) - 1/2 ( 2 x + 2 )
y = ( x 2 + 2 x ) ½ y´ = 2 x 2_____ = 2 ( x + 1 )__
2 ( x 2 + 2 x ) ½ 2 " x 2 + 2 x
MÁXIMOS Y MINIMOS
Dada la función y = f ( x ) = x 3 - 3 x 2 - 10 x encontrar Máximo y Mínimo, punto de inflexióny graficar 3 2
Solución. Criterio de la segunda derivada.
y´ = x 2 - 3 x - 10 = 0 ! y´´ = 2 x - 3
( x 1 - 5 ) ( x 2 + 2 ) = 0 Es mínimo
x 1 = 5 x 2 = 2 } Puntos Críticos y´´ = 2 ( 5 ) - 3 = 7
y´´ = 2 ( -2 ) - 3 = -7
Es máximo
y´´ = 2 x - 3 = 0
x = 3/2 “ punto de inflexión”
y 1 = f ( x ) = ( 5 ) 3 - 3 ( 5 ) 2 - 10 ( 5 ) = 125 - 3 ( 25 ) - 50 = 41.66 - 37.5 - 50 =
3 2 3
y 2 = f ( -2 )...
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