Calculo diferencial

´ ´ CAP´ ITULO 1. LOS NUMEROS REALES Y LA RECTA NUMERICA

2) Existe un n´mero real unico que es el uno 1 tal que para cualquier u ´ real a: a · 1 = 1 · a = a. El uno es llamado m´dulo o elemento neutro de la multiplicaci´n. o o 5. Ley invertiva: a) Para cualquier n´mero real a, existe un n´mero real unico, llau u ´ mado el opuesto de a y denotado −a tal que al operarlos da como resultado elelemento neutro de la suma: a + (−a) = 0 b) Para cada n´mero real a, diferente de cero, existe un n´mero reu u −1 o 1 , tal que al al unico llamado el rec´ ´ ıproco de a, denotado a a multiplicarlos da como resultado el elemento neutro de la multiplicaci´n: o 1 a · a−1 = 1, o, a · =1 a 6. Ley distributiva: Esta ley relaciona la operaci´n de la suma con el o producto. Si a, b y c son n´meros reales,entonces: u a · (b + c) = a · b + a · c. Por ejemplo, 3(5 + 4) = 3 · 5 + 3 · 4 trabajando simult´neamente en ambos lados miembros de la igualdad, a tenemos: 3 · (9) = 15 + 12 27 = 27

1.6.2.

Propiedades de orden

Dados dos puntos de la recta num´rica: el punto A y el punto B, sus rese pectivas coordenadas son los n´meros reales a y b. Si el punto B est´ a la u a derecha del punto A en larecta, decimos que b > a y leemos: el n´mero b es u

1.7. DESIGUALDADES

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B
|

A
|

a

b

mayor que el n´mero a, o lo que es lo mismo a < b que leemos a es menor u que b. Tambi´n podemos escribir a ≤ b: a menor o igual a b, o, b ≥ a: b e mayor o igual a a. Un n´mero real a es menor que un n´mero real b, si existe un n´mero u u u positivo c (c > 0) de tal forma que a + c = b, en talcaso se escribe a < b. Ejemplo 1.3. −5 < −2, pues −5 + 3 = −2

1.7.

Desigualdades

Expresiones como las anteriores: a < b, a ≤ b, b > a, b ≥ a se llaman desigualdades o inecuaciones y el n´mero b es mayor que el n´mero a si u u b − a > 0 y el n´mero a es menor que el n´mero b, si a − b < 0. u u Propiedades de las desigualdades Si a, b y c son n´meros reales, entonces: u 1. Si a < b entoncesa + c < b + c. 2. Si a < b entonces a − c < b − c. 3. Si a < b y c > 0 entonces a · c < b · c. 4. Si a < b y c < 0 entonces a · c > b · c. Si a < b entonces −a > −b: si multiplicamos ambos lados de una desigualdad por −1, la desigualdad cambia de sentido. 5. Si a > 0 entonces 6. Si a 1 > a 1 > 0. a

> 0 y b > 0, o si a < 0 y b < 0, entonces: a < b implica que 1 . b

10

´ ´ CAP´ ITULO 1.LOS NUMEROS REALES Y LA RECTA NUMERICA

Es l´gico que si escribimos b > a en lugar de a < b, las propiedades se o cumplen, tambi´n si la desigualdad es a ≤ b o b ≥ a. e La propiedad uno, nos dice que podemos sumar en cada miembro de una desigualdad, la misma cantidad. Si hacemos eso, la desigualdad que resulta es equivalente a la anterior. Que dos desigualdades sean equivalentes, significa quetienen las mismas soluciones. Resolver una desigualdad, tambi´n e llamada inecuaci´n, es hallar todos los valores para los cuales la desigualdad o tiene sentido. Por ejemplo si escribimos x − 5 > 0, o, x > 5, la soluci´n o consta de todos los n´meros reales mayores que cinco. u

1.8.

Intervalos

Dados dos puntos A y B de la recta real, A a la izquierda de B, el conjunto de todos los puntos dela recta que est´n a la derecha de A y a la a izquierda de B, se llama intervalo. El punto A y el punto B, pueden o no pertenecer al intervalo. Debido a la correspondencia entre puntos de la recta real y n´meros reales, dados dos n´meros reales a y b, un intervalo consta u u de todos los n´meros reales que est´n entre a y b. Los n´meros reales a y b u a u pueden o no pertenecer al intervalo. Losintervalos de n´meros correspondientes a segmentos de la recta real se u llaman intervalos finitos y los intervalos correspondientes a semirrectas o a la recta real misma, se llaman intervalos infinitos. Si los extremos del intervalo pertenecen al intervalo, el intervalo se llama cerrado, si no pertenecen, se llama intervalo abierto. Los intervalos se pueden dividir en dos clases, seg´n u tengan...