Calculo diferencial

Fundamentos de
la Matemática

Cristina Pascual Deocón
Madrid, 7 de Diciembre de 2005

Fundamentos de la Matemática
Introducción

INTRODUCCIÓN
Hace aproximadamente un siglo un grupo de importantes matemáticos alemanes, franceses,
americanos, etc. estuvo inmerso en una discusión a fondo sobre los fundamentos de las matemáticas.
Se trataba de eliminar una serie de paradojas que habíansurgido en Teoría de Conjuntos, pero
también se discutió sobre lo que es o no aceptable en matemáticas.
Además de las paradojas lógicas, otra cuestión que produjo cierta incertidumbre en la
comunidad matemática de la época, es el hecho de que el axioma de elección posea consecuencias
muy poco intuitivas, como el Axioma de Zermelo o la descomposición paradójica de Banach-Tarsky
y por tanto,resultaba un poco “duro” admitir el axioma de elección como axioma.
Como resultado de estas discusiones surgieron varias escuelas de pensamiento que, desde
entonces, se encuentran enfrentadas (formalistas, intuicionistas). Además, la demostración por parte
de Gödel de ciertos resultados sobre incompletitud y consistencia de los sistemas formales que
contienen la aritmética elemental, acabó conel sueño de Hilbert de establecer un consenso definitivo
entre dichas escuelas. A pesar de la naturaleza pesimista de los resultados de Gödel, hay que decir
que su trabajo motivó el desarrollo posterior de teorías matemáticas muy interesantes, como son por
ejemplo los diferentes conceptos de algoritmo, de computabilidad y de recursividad. Además,
también debemos a Gödel algunos resultadosoptimistas, como son la suficiencia semántica de la
lógica de primer orden y la consistencia de axioma de elección e hipótesis del continuo con el resto
de axiomas de Teoría de Conjuntos.

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Fundamentos de la Matemática
Enfoque Conjuntista

ENFOQUE CONJUNTISTA
Es bien sabido que el enfoque conjuntista ha tenido una gran importancia en el siglo XX como
elemento unificador ysistematizador de la matemática moderna. Que esto sería así resultaba ya
previsible a finales del XIX, como consecuencia, entre otras cosas, de los esfuerzos de rigorización
que se habían llevado a cabo bajo la consigna de la llamada aritmetización del análisis.
El desarrollo de la teoría de conjuntos ha sido bien estudiado, particularmente en conexión con
la obra pionera y sumamente original deCantor. Sin embargo, varias propuestas de reorientación
conjuntista tuvieron lugar antes de que Cantor comenzara sus trabajos.
Las raíces de la noción de conjunto están en el análisis real, en la teoría de series
trigonométricas y concretamente en la cuestión de la representación de funciones discontinuas
mediante series de Fourier, que llevó a Cantor a comenzar un estudio detallado de los conjuntosde
puntos de discontinuidad.
El genial descubrimiento, en diciembre de 1873, de que el conjunto de los reales no es
numerable llevó a Cantor a formular la noción de cardinalidad de un conjunto infinito, y le orientó a
la investigación de problemas de teoría de conjuntos pura. En su trabajo, desarrollado hasta 1897, se
fueron acuñando otras importantes nociones como la de conjunto bienordenado, número transfinito,
varias ideas claves de la teoría de conjuntos de puntos, etc.
Para entender el enfoque conjuntista, pasamos a los acontecimientos que se sucedieron en la
segunda mitad del XIX.
Conjuntos: 1854 - 1872
El quinquenio 1868 - 1872 se antoja una etapa de hiperactividad. Las principales
contribuciones que hay que reseñar son obra de matemáticos alemanes, lo que probablementese debe
al peculiar ambiente intelectual que se vivía en aquella zona, sobre todo, a la orientación generalizada
hacia una matemática pura. Y entre esos matemáticos destacan, por la impronta que dejaron,
Riemann, Dedekind y Cantor.
Cronológicamente, la primera contribución es de Riemann. Así, en la famosa lección ”Sobre
las hipótesis en que se basa la geometría", Riemann no se limita a...