Calculo vectorial

Capítulo 2 Funciones Vectoriales de una variable
Una función vectorial de una variable es una función f : D ! Rn ; donde D es un subconjunto de los números reales. Más adelante veremos como cierto tipo de estas funciones se pueden interpretar como trayectorias que describen partículas u objetos en movimiento. Dichas trayectorias tienen importantes aplicaciones tanto físicas como geométricas. Aligual que en nuestro curso de cálculo diferencial e integral, en este curso veremos los conceptos de limite, continuidad, derivación e integración de funciones vectoriales.

2.1.

De…niciones y ejemplos

Ejemplo 2.1 Función vectorial Sea : [0; 1) ! R2 dada por (t) = (t; t2 ) : Así es una función vectorial. Notemos que la función asigna a cada número t en [0; 1) el vector (t; t2 ) : Véase lasiguiente tabla. t 0
1 2

1 2 Ejemplo 2.2 Función vectorial

(t) (0; 0) 1 1 ; 2 4 (1; 1) (2; 4) ( ; 2)

39

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CAPÍTULO 2. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE

Sea : [ 1; 10] ! R3 dada por (t) = (2t; 3; t) : Así es una función vectorial. Notemos que la función asigna a cada número t en [ 1; 10] el vector (2t; 3; t) : Véase la siguiente tabla. t (t) 1 ( 2; 3; 1) 0 (0; 3; 0) 1 (2;3; 1) 1;5 (3; 3; 1;5) 4 (8; 3; 4) Observación 2.3 Sea podemos expresar : D (t) = ( para algunas funciones ciones componente de :
i

! Rn una función vectorial. Notemos que
1

(t) ;

2

(t) ; :::;

n

(t)) ;
i

:D

! R: A las funciones

se les llama fun-

Ejemplo 2.4 Funciones componente a) Sea : [0; 1) ! R2 dada por (t) = (t; t2 ) : Entonces (t) = ( 1 (t) ; 2 (t)) ; donde 1(t) = t y 2 (t) = t2 : Así, las funciones componente de la función son 1 (t) = t y 2 (t) = t2 : b) Sea : [ 1; 10] ! R3 dada por (t) = (2t; 3; t) : Entonces (t) = ( 1 (t) ; 2 (t) ; 3 (t)) ; donde 1 (t) = 2t, 2 (t) = 3 y 3 (t) = t: Así, las funciones componente de la función son 1 (t) = t y 2 (t) = t2 : Como se verá en este capítulo, la importancia de las funciones componente de una función vectorialradica en que muchas propiedades de la función vectorial se deducen de las propiedades de sus funciones componente. De aquí en adelante a las funciones vectoriales que tienen como dominio a un intervalo de números reales les daremos un nombre especial. De…nición 2.5 Una trayectoria en Rn es simplemente una función vectorial : I ! Rn donde I es un intervalo de números reales. ¿Por qué a unafunción vectorial : I ! Rn ; donde I es un intervalo se le llama trayectoria? Pensemos en que n = 2 o que n = 3: Notemos que si hacemos variar la t en el intervalo I entonces (t) = ( 1 (t) ; :::; n (t)) genera o describe una

2.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS

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trayectoria en Rn ; es decir, la imagen de describe una trayectoria en Rn .1 Este es el por que a se le llama trayectoria. Si el dominio Ide la trayectoria es un intervalo cerrado [a; b], a los puntos (a) y (b) les llamaremos punto inicial y punto …nal de la curva respectivamente. Si el intervalo I no es de la forma [a; b] entonces la trayectoria puede no tener punto inicial o punto …nal. De aquí en adelante, si no hay lugar a confusión, tanto a la función como a la trayectoria que genera la denotaremos por :

Curva generada poruna función : Ejemplo 2.6 Trayectoria en R2 Describir la trayectoria generada por la función dada por (t) = (3; t) : : ( 1; 1) ! R2

Solución. Notemos que el punto (3; t) se encuentra sobre la recta x = 3: La trayectoria descrita por se describe a continuación.

y

6 4 2 0 -2 1 2 3

x

4

Puntos inicial y …nal de la curva : Notemos que la trayectoria no tiene punto inicial ni punto …nal.Ejemplo 2.7 Trayectoria en R2 Sea : [ 4; 1] ! R2 dada por (t) = (3; t). Notemos que la curva es la trayectoria de ejemplo 2.6 pero con dominio [ 4; 1] : La trayectoria descrita por se muestra en la …gura ? Los puntos inicial y …nal de la trayectoria son ( 4) = (3; 4) y (1) = (3; 1) respectivamente.
No confundir la trayectoria que genera una función : I ! Rn con su grá…ca. La trayectoria...