Calculo vectorial

INDICE

1 GEOMETRIA VECTORIAL

1.1 Introducción
1.2 Vectores
1.3 Notación
1.4 Operaciones Básicas
1.5 Igualdad
1.6 Suma y resta
1.7 Multiplicación por un escalar
1.8 Propiedades de los vectores
1.9 Producto punto y norma
1.10 Propiedades del producto punto
1.11 Norma
1.12 Propiedades de la norma
1.13 Ángulo entre vectores
1.14 Paralelismo, perpendicularidad, cosenosdirectores.
1.15 Proyección ortogonal
1.16 Producto Cruz en R3
1.17 Propiedades del producto cruz

2 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

2.1 Rectas
2.2 Ángulo, paralelismo, perpendicularidad e intersección
2.3 Planos. Ecuación vectorial, normal y cartesiana
2.4 Paralelismo, perpendicularidad y ángulo 33
2.5 Intersección entre recta y plano 38
2.6 Distancia de un punto a una recta ya un plano.

CAPITULO 1

GEOMETRIA VECTORIAL.

Introducción.
Los vectores, que eran utilizados en mecánica en la composición de fuerzas y velocidades ya desde fines del siglo XVII, no tuvieron repercusión entre los matemáticos hasta el siglo XIX cuando Gauss usa implícitamente la suma vectorial en la representación geométrica de los números complejos en el plano y cuando Bellavitisdesarrolla sus "equipolencias", un conjunto de operaciones con cantidades dirigidas que equivale al cálculo vectorial de hoy.
El paso siguiente lo da Hamilton. Con Hamilton inicia el estudio de los vectores. Se le debe a él el nombre de 'vector' producto de la creación de un sistema de números complejos de cuatro unidades, denominado "cuaterniones'', muy usados hoy en día para el trabajo con rotacionesde objetos en el espacio 3D. Actualmente, casi todas las áreas de la física son representadas por medio del lenguaje de los vectores.
En este tema, estudiaremos los vectores en , las operaciones y sus propiedades. Además de algunos ejemplos, se desarrollan actividades interactivas en 3D para facilitar la apropiación de los conceptos estudiados.

1.2 VECTORES

A partir de la representaciónde R, como una recta numérica, los elementos (a;b) 2 R2 se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la intersección representa a (0;0) y cada (a;b) se asocia con un punto de coordenada a en la recta horizontal (eje X) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y).

Análogamente, los elementos(a;b;c) 2 R3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X, Y y Z).

Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2
y en R3. La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flechaDetermina su magnitud.

1.3 NOTACIÓN

Los vectores se denotarán con letras minúsculas con un flecha arriba tales como ¡!v , ¡!y , ¡!z .
Los puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como A, B, C. En el contexto de los Vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas Cursivas tales como a, b, k.

1.4 OPERACIONES BÁSICAS

1.5 IGUALDAD

Dos vectoresson iguales si tienen, en el mismo orden, los mismos componentes.
Definición

1.6 SUMA Y RESTA

La suma y resta se hace componente a componente

1.7 MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Un escalamiento de un vector, por un factor k, se logra multiplicando cada componente por
el mismo número real k.

Ejemplo 3.


1.8 PROPIEDADES DE LOS VECTORES
Teorema 11.9 PRODUCTO PUNTO Y NORMA

El producto punto (o escalar) es una operación entre vectores que devuelve un escalar. Esta
Operación es introducida para expresar algebraicamente la idea geométrica de magnitud.

1.10 PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO
Teorema 2













1.11 NORMA

La norma define la longitud de un vector desde el punto de vista de la geometría...