calculo vectorial

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Aplicaciones de la derivación parcial.

5. El teorema de los multiplicadores de Lagrange.
Sea g una función de dos variables suficientemente regular y consideremos la curva C de ecuación

implícita g ( x, y ) = 0, es decir, C := {( x, y ) ∈

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: g ( x, y ) = 0} . Se trata de unconjunto cerrado y su-

pongamos que es un conjunto acotado. Si f : ( x, y ) ∈ U ⊆ 2 → f ( x, y ) ∈ , con C ⊆ U , es una
función suficientemente regular (en particular continua) entonces alcanza el máximo y el mínimo
absolutos en C. Sin embargo, ningún punto de la curva es necesariamente un punto crítico de la
función f , luego las técnicas estudiadas en la sección anterior no son válidas eneste caso. Sin embargo, si C : t ∈ I ⊆ → C (t ) := ( x(t ), y (t )) ∈ 2 , siendo x = x(t ) e y = y (t ) funciones suficientemente regulares, es una parametrización de la curva C , y consideramos la función de una variable
h : t ∈ I ⊆ → h(t ) := f ( x(t ), y (t )) ∈ , se verifica que: f alcanza un máximo (mínimo) absoluto
en el punto ( x0 , y0 ) = C (t0 ) ∈ C si y sólo si h alcanza un máximo(mínimo) absoluto en el punto
t0 ∈ I . Por tanto, el problema de obtener los extremos de la función f en C se reduce a obtener los
extremos absolutos de la función h en I . A veces no es posible determinar una parametrización de
la curva C , hecho que ocurre generalmente cuando la curva está definida implícitamente por la
ecuación g ( x, y ) = 0. En este caso se acude al método de losmultiplicadores de Lagrange que exponemos a continuación.
Multiplicadores de Lagrange para funciones de dos variables. Antes de enunciar el resultado
central de esta sección vamos a presentar un ejemplo que ilustrará el camino a seguir.

EJEMPLO. Consideremos la circunferencia C de ecuación x 2 + y 2 = 2 y la función f ( x, y ) = x + y.
Queremos determinar los puntos de donde la función f alcanza elmáximo y el mínimo absolutos.
Observa que estos puntos existen puesto que C es un conjunto cerrado y acotado y f es una función continua. Consideremos las rectas x + y = c, siendo c ∈ . En los puntos ( x, y ) donde esta
recta corta a C , tenemos que f ( x, y ) = c. Si hacemos variar c ∈ , obtenemos un haz de rectas paralelas. El valor máximo (o mínimo) de c en puntos de la curva C se obtiene cuando larecta correspondiente es tangente a C. En dichos puntos, la función f alcanza los extremos absolutos. Observa que en dichos puntos, los vectores normales a la curva C , esto es ( 2 x, 2 y ) , y el vector normal a la recta, esto es (1,1) , deben ser proporcionales. Por tanto, existirá λ ∈

tal que 2 x = λ y

2 y = λ. En consecuencia x = y y los puntos son (1,1) , donde se alcanza el máximoabsoluto y

( −1, −1) ,

donde se alcanza el mínimo absoluto.

DEFINICIÓN. Sea f : ( x, y ) ∈ U ⊆ 2 → f ( x, y ) ∈ una función y sea C ⊆ U una curva de ecuación implícita g ( x, y ) = 0. Se dice que f alcanza en ( x0 , y0 ) ∈ C un máximo relativo sujeto (condicionado) a la restricción g ( x, y ) = 0, si existe un disco D centrado en ( x0 , y0 ) tal que
f ( x0 , y0 ) ≥ f ( x, y ) para todo ( x,y ) ∈ D ∩ C ( ( x, y ) ∈ D y g ( x, y ) = 0 ).
Se dice que f alcanza en ( x0 , y0 ) ∈ C un mínimo relativo sujeto (condicionado) a la restricción
g ( x, y ) = 0, si existe un disco D centrado en ( x0 , y0 ) tal que

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GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Aplicaciones de la derivación parcial.

f ( x0 , y0 ) ≤ f (x, y ) para todo ( x, y ) ∈ D ∩ C ( ( x, y ) ∈ D y g ( x, y ) = 0 ).
En ambos casos decimos que f alcanza en ( x0 , y0 ) ∈ C un extremo relativo sujeto (condicionado)
a la restricción g ( x, y ) = 0.
Observa que los extremos absolutos de la función f en C se alcanzan en puntos donde la función
f alcanza extremos relativos condicionados a g ( x, y ) = 0.
TEOREMA (DE LOS MULTIPLICADORES DE...